גידול של חבורה
![]() |
ערך ללא מקורות
| |
ערך ללא מקורות | |
גידול של חבורה הוא האופן שבו חבורה, בדרך כלל אינסופית, מכוסה על ידי מילים הולכות ומתארכות בקבוצת יוצרים נתונה.
פונקציית הגידול והקצב
תהי G חבורה הנוצרת על ידי קבוצת יוצרים סופית, X. בדרך כלל מניחים שהקבוצה סימטרית להיפוך. מסמנים ב-$ B_{X}(n) $ את קבוצת האיברים שאפשר להציג כמכפלה של לכל היותר $ n $ איברים של $ B $. פונקציית הגידול המתאימה ל-X היא הפונקציה $ \ f(n)=|B_{X}(n)| $. כאשר G אינסופית, זוהי פונקציה עולה ממש. מגדירים יחס שקילות על הפונקציות העולות, לפיו $ \ f\equiv $ אם יש קבוע c כך ש-$ \ f(n)\leq c\cdot g(cn) $, וגם להפך. כל פונקציות הגידול של אותה חבורה שקולות זו לזו.
לחבורה נוצרת סופית יש פונקציית גידול פולינומי אם ורק אם היא נילפוטנטית-למעשה (virtually nilpotent). מכאן נובע שבמקרה כזה המעלה של פונקציית הגידול היא מספר שלם. המספר $ \lim {\sqrt[{n}]{|B_{X}(n)|}} $ הוא קצב הגידול המעריכי (ביחס ל-X). הקצב הוא 1 כאשר פונקציית הגידול היא תת-מעריכית. יש חבורות שקצב הגידול שלהן ביחס לכל קבוצת יוצרים X גדול מ-1, אבל האינפימום שווה ל-1. אם האינפימום של הקצבים האלה גדול מ-1, החבורה היא בעלת גידול מעריכי. לדוגמה, לחבורה חופשית (לא אבלית) יש גידול מעריכי. בחבורה לא אמנבילית קצב הגידול ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית גדול מ-1.
טור הילברט
תהי f פונקציית הגידול של החבורה ביחס לקבוצת יוצרים סופית X. טור הילברט של החבורה (ביחס ל-X) הוא טור החזקות $ \ \sum _{n=0}^{\infty }f(n)x^{n} $. הטור מעניין במיוחד כאשר הוא מייצג פונקציה רציונלית במשתנה x. לחבורה אבלית-למעשה (virtually-abelian) ולחבורה היפרבולית יש גידול רציונלי (עבור כל קבוצת יוצרים). לחבורת באומסלג-סוליטר $ \ B(1,n) $ יש גידול רציונלי ביחס לקבוצת היוצרים הסטנדרטית. בכל חבורה עם גידול רציונלי, בעיית המילה פתירה. מאידך, יש חבורות פתירות (עם $ \ G'''=1 $) שבהן בעיית המילה אינה פתירה (Kharlampovich 1981), וממילא עם פונקציית גידול שאינה רציונלית.
טור הילברט של חבורה למחצה עם יחס אחד הוא רציונלי (Backelin).
ראו גם
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] גידול של חבורה31587299