בעיה מילולית

בתחום הוראת המתמטיקה, בעיה מילולית היא שאלה המנוסחת בשפת יום-יום שפתרונה דורש שימוש בכלים מתמטיים.

מטרתן של בעיות מילוליות להדגים לתלמיד את השימושיות של מתמטיקה ביום-יום ולהקנות לתלמיד כלים לפתור בעיות יום-יום באמצעות מתמטיקה. בעיות מילוליות יכולות להוסיף עניין ללימוד המתמטיקה ולהפוך את התחום למוחשי יותר. מבחינה היסטורית, הספרות המתמטית בעת העתיקה לימדה עקרונות מתמטיים כלליים בעיקר באמצעות פתרון בעיות מילוליות.

פתרון בעיה מילולית מורכב משני שלבים: בשלב הראשון ממדלים את הבעיה באופן מתמטי, ובשלב השני מפעילים כלים מתמטיים על המודל כדי להגיע לפתרון.

דוגמאות

בעיה: לבריכה העירונית יש שלושה ברזים הממלאים אותה. לברז הראשון נחוצות שעתיים כדי למלא את הבריכה, לברז השני נחוצות שלוש שעות כדי למלא את הבריכה ואילו לברז השלישי נחוצות שש שעות כדי למלא את הבריכה. כמה זמן ייקח לשלושת הברזים למלא את הבריכה אם כולם נפתחים יחדיו (ובהנחה שקצב הזרימה בכל הברזים אחיד)?

פתרון: נסמן את נפח הבריכה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} ואת הזמן הנחוץ למלא אותה עם שלושת הברזים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} (שעות). הברז הראשון ממלא בשעה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tfrac{1}{2}V} ולכן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} שעות ימלא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tfrac{t}{2}V} . באופן דומה הברזים השני והשלישי ממלאים בזמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} שעות נפחים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tfrac{t}{3}V} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tfrac{t}{6}V} בהתאמה. לפי הגדרת

t

זהו הזמן בו הבריכה מלאה, כלומר כל הברזים יחדיו מילאו נפח של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} . תנאי זה ניתן לתרגום למשוואה ליניארית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tfrac{t}{2}V+\tfrac{t}{3}V+\tfrac{t}{6}V = V} . חלוקת המשוואה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} וחיבור השברים נותן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=1} . הפתרון הסופי הוא ששלושת הברזים יחדיו ממלאים את הבריכה בשעה אחת בדיוק. נבחין כי הפתרון לא היה תלוי כלל בערכו של הנפח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} כצפוי מניסוח הבעיה. בעיות בעלות אופי דומה מתקבלות מחישוב התנגדות חשמלית במעגל חשמלי עם נגדים המחוברים במקביל.

בעיה: לחוואי יש גדר שאורכה 400 מטרים והוא מעוניין להקיף עמה שטח מלבני גדול ככל הניתן. כיצד עליו לעשות זאת?

פתרון: נסמן את אורך המלבן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ואת רוחבו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} . לפי הנתון והנוסחה להיקף של מלבן מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2(x+y) = 400} . נחלץ את

y

במשוואה ונקבל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = 200-x} . לכן שטח המלבן הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S = xy = x(200-x) = 200x-x^2} . אנו מעוניינים למצוא את הערך של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} יהיה מקסימלי. השיטה היעילה ביותר למציאת מקסימום של פונקציה היא באמצעות משפט פרמה (שקובע שבנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת), אולם במקרה הזה אין צורך לערב חשבון דיפרנציאלי. על ידי השלמה לריבוע מקבלים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S = 200x-x^2 = 100^2 - 100^2 +200x-x^2 = 100^2 - (100-x)^2} . מכיוון שריבוע הוא תמיד חיובי ביטוי זה שווה לכל היותר ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 100^2} וזהו בדיוק הערך המתקבל בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=100} ולכן זוהי נקודת המקסימום. בנקודה זו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = 200-100 = 100} ולכן הפתרון הסופי הוא שעל החוואי לתחום שטח שצורתו ריבוע עם צלעות שאורכן 100 מטרים. נשים לב שאין שטח קטן ביותר שניתן לתחום, כי תמיד ניתן לתחום שטח קרוב כרצוננו לאפס אם נקח מלבן שהוא רצועה צרה וארוכה.