אלגברת מנה

אלגברת המנה - הכללה של חבורת המנה וחוג המנה למבנה אלגברי כללי. משמשת בין היתר להכללת משפטי האיזומורפיזם באלגברה אוניברסלית.

הגדרה:

יהי $(A;f_{1},...,f_{n})$ מבנה אלגברי עם n פעולות, ויהא $\equiv$ יחס שקילות על אברי A כך שלכל פעולה $f_{j}$ , אם מתקיים $a_{i}\equiv b_{i}$ עבור i=1...k ,מתקיים גם:

$f_{j}(a_{1},...,a_{k})\equiv f_{j}(b_{1},...,b_{k})$

יחס השקילות משרה מבנה אלגברי חדש שנקרא אלגברת מנה $A/\equiv$ שאבריו הם מחלקות השקילות המתאימות עם הפעולות: $f_{j}([a_{1}],...,[a_{k}])=[f_{j}(a_{1},...,a_{k}){\big ]}$ (לפי $\equiv$ )

דוגמה -הכללה של משפט האיזומורפיזם הראשון:

יהיו A ו-B מבנים אלגבריים ויהא F אפימורפיזם מ-A על-B,אזי:

A/Φ איזומורפי ל-B. כש- Φ יחס השקילות המוגדר על אברי A כך: $a\equiv b$ אם ורק אם $F(a)=F(b{\big )}$ .

הוכחה(חלקית) :

תחילה נוכיח ש-Φ משרה אלגברת מנה:

תהי $f_{j}$ פעולה k-ארית, ויהיו $a_{i}\equiv b_{i}$ (לפי Φ) עבור i=1...k (זאת אומרת $F(a_{i})=F(b_{i}{\big )}$ עבור i=1...k). מכאן נובע ש, $F(f_{j}(a_{1},...,a_{k}))=({\hat {f_{j}}}(F(a_{1})),...,{\hat {f_{j}}}(F(a_{k})))=({\hat {f_{j}}}(F(b_{1})),...,{\hat {f_{j}}}(F(b_{k})))=F(f_{j}(b_{1},...b_{k}))$ זאת אומרת, $f_{j}(a_{1},...,a_{k})\equiv f_{j}(b_{1},...,b_{k})$