אי-שוויון ML
באנליזה מרוכבת, למת האומדן, הידועה גם בשם אי-שוויון ML, היא לֶמה הנותנת חסם עליון לאינטגרל מסילתי. החסם מאפשר לחסום אינטגרלים, למשל לצורך החישובים הנדרשים במשפט השארית.
אם $ f $ היא פונקציה מרוכבת רציפה על המסילה $ \Gamma $ ואם המודול שלה $ |f(z)| $ חסום על ידי הקבוע $ M $ עבור כל $ z $ על $ \Gamma $, אז:
$ \left|\int _{\Gamma }f(z)dz\right|\leq M\,\ell (\Gamma ) $
כאשר $ \ell (\Gamma ) $ הוא אורך הקשת של $ \Gamma $. בפרט, ניתן לקחת את המקסימום $ M:=\sup _{z\in \Gamma }|f(z)| $ כחסם עליון.
טענת הלמה אינה מפתיעה. אם מקרבים את המסילה כאיחוד סופי של קטעים קטנים, אז המקסימום של הערכים בקטעים אלה אינו רחוק מהחסם $ M $ על המסילה. לפיכך, אם מבצעים אינטגרל של המקסימום על פני כל המסילה, אז האינטגרל של $ f(z) $ על המסילה חייב להיות קטן ממנו או שווה לו.
באופן פורמלי ניתן להראות שאי-השוויון מתקיים באמצעות הגדרת האינטגרל הקווי, אי-שוויון המשולש האינטגרלי והנוסחה עבור אורך עקומה כדלקמן:
- $ \left|\int _{\Gamma }f(z)dz\right|=\left|\int \limits _{\alpha }^{\beta }f(\gamma (t))\gamma '(t)dt\right|\leq \int \limits _{\alpha }^{\beta }|f(\gamma (t))||\gamma '(t)|dt\leq \int \limits _{\alpha }^{\beta }M\left|\gamma '(t)\right|dt=M\int \limits _{\alpha }^{\beta }|\gamma '(t)|dt=M\,\ell (\Gamma ) $
דוגמה
בעיה – חשבו את האינטגרל $ \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}dx $.
פתרון – במקום לחשב את האינטגרל בגבולות המבוקשים, נקרב את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \int_{-a}^{a}\frac{1}{(x^2+1)^2}dx ונשאיף את $ a $ לאינסוף. לשם כך נשלים את קטע האינטגרציה למסילה סגורה, על ידי הוספת חצי המעגל $ |z|=a $ מ-$ z=a $ לכיוון $ z=-a $ (נגד כיוון השעון). את חצי המעגל הזה נסמן ב-$ \Gamma $.
לפי משפט השארית, האינטגרל הזה שווה ל-$ 2\pi i $ כפול סכום השאריות בכל נקודות הסינגולריוּת. הסינגולריות היחידה של הפונקציה בתוך המסילה היא בנקודה $ z=i $. אפשר לפתח לטור לורן $ {\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}={\frac {-1}{4}}(z-i)^{-2}+{\frac {-i}{4}}(z-i)^{-1}+{\frac {3}{16}}+{\frac {i}{8}}(z-i)-{\frac {5}{64}}(z-i)^{2}+\dots $; ומכאן שהשארית, שהיא המקדם של $ (z-i)^{-1} $, שווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \frac{-i}{4} . מכאן נובע שהאינטגרל על פני כל המסילה הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): (\int_{-a}^a+\int_{\Gamma})\frac{dz}{(z^2+1)^2} = 2\pi i \frac{-i}{4} = \frac{\pi}{2} .
אורכו של מסלול האינטגרציה הוא חצי היקף מעגל שרדיוסו $ a $, ומכאן $ \ell (\Gamma )={\tfrac {1}{2}}(2\pi a)=\pi a $.
מאי-שוויון המשולש ניתן לראות כי:
- $ |z|^{2}=|z^{2}|=|z^{2}+1-1|\leq |z^{2}+1|+1 $
ולכן:
- $ |z^{2}+1|\geq |z|^{2}-1=a^{2}-1>0 $ כאשר $ a>1 $.
מכאן:
- $ \left|{\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}\right|\leq {\frac {1}{(a^{2}-1)^{2}}} $
כלומר $ M={\frac {1}{(a^{2}-1)^{2}}} $, והחסם הוא:
- $ \left|\int _{\Gamma }{\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}\,dz\right|\leq {\frac {\pi a}{(a^{2}-1)^{2}}} $. הערך הזה שואף לאפס כאשר $ a $ שואף לאינסוף, ומכאן ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{(x^2+1)^2} = \frac{\pi}{2} .
ראו גם
לקריאה נוספת
- Saff, E.B; Snider, A.D. (1993), Fundamentals of Complex Analysis for Mathematics, Science, and Engineering (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 978-0133274615.
- Howie, J.M. (2003), Complex Analysis, Springer.
אי-שוויון ML38626977Q3229331