בתורת ההסתברות, אי-שוויון קאנטלי, קרוי על שם פרנסיסקו פאולו קאנטלי, מאפשר לחסום הסתברויות זנב של התפלגויות. אי השוויון הוא גרסה חד-צדדית לאי-שוויון צ'בישב.
אי-שוויון קאנטלי קובע כי למשתנה מקרי
בעל תוחלת
ושונות
מתקיים:
![{\displaystyle P(X-\mu \geq \lambda )\quad {\begin{cases}\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+\lambda ^{2}}}&{\text{if }}\lambda >0,\\[8pt]\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+\lambda ^{2}}}&{\text{if }}\lambda <0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5580a9dee31259d3e8f7eb966d20d1c90bef3c)
הוכחה
נוכיח עבור
, המקרה הכללי מוכח בצורה דומה.
לכל
מתקיים:
![{\displaystyle \lambda =E(\lambda -X)\leq E((\lambda -X)1_{X<\lambda })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56fd77058c4e6986e6b791eb72bebe3e600783f)
לכן, לכל
, מאי-שוויון קושי-שוורץ נובע ש
![{\displaystyle \lambda ^{2}\leq E((\lambda -X)^{2})E(1_{X<\lambda }^{2})=E((\lambda -X)^{2})P(X<\lambda )=(\sigma ^{2}+\lambda ^{2})P(X<\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/608fcb9eae80481a7b5efff48e09a76947a61995)
ולכן,
![{\displaystyle P(X<\lambda )\geq {\frac {\lambda ^{2}}{\sigma ^{2}+\lambda ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6d908be3f0ffe2fead8fdf8010edaf94f414ac8)
באופן דומה ניתן להוכיח את המקרה שבו
.
30647658אי-שוויון קאנטלי