במתמטיקה, אי-שוויון יאנג (באנגלית: Young's inequality for products) הוא אי-שוויון על מכפלה של שני מספרים. אי השוויון נקרא על שמו של המתמטיקאי האנגלי ויליאם הנרי יאנג (אנ'). אחד השימושים לאי-שוויון זה הוא בהוכחת אי-שוויון הלדר.
אי-שוויון יאנג עבור חזקה 2 אומר שעבור מספרים ממשיים חיוביים , מתקיים:
במקרה הכללי, אי-שוויון יאנג אומר שעבור מספרים ממשיים חיוביים ,
ועבור כך ש ,
השוויון מתקבל אם ורק אם .
הוכחה עבור חזקה 2
עבור a ו b ממשיים,
נפתח את הסוגריים, ונקבל:
נחבר
לשני הצדדים,
ולבסוף, נחלק ב
:
הוכחה למקרה הכללי
נשתמש באי-שוויון ינסן. כאשר או אי השוויון מתקיים.
נניח ש וגם .
נגדיר . נקבל ש .
בגלל שפונקציית הלוגריתם קמורה, ניתן להשתמש באי שיוויון ינסן, ולקבל:
נקח
אקספוננט בשני הצדדים, ונקבל
נציב את
ונקבל את אי-שוויון יאנג.
קישורים חיצוניים
שגיאות פרמטריות בתבנית:קצרמר
פרמטרי חובה [ 1 ] חסרים
38823740אי-שוויון יאנג