אי-שוויון יאנג
במתמטיקה, אי-שוויון יאנג (באנגלית: Young's inequality for products) הוא אי-שוויון על מכפלה של שני מספרים. אי השוויון נקרא על שמו של המתמטיקאי האנגלי ויליאם הנרי יאנג (אנ'). אחד השימושים לאי-שוויון זה הוא בהוכחת אי-שוויון הלדר.
אי-שוויון יאנג עבור חזקה 2 אומר שעבור מספרים ממשיים חיוביים $ a,b\geq 0 $, מתקיים: $ {\displaystyle ab\leq {\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}} $
במקרה הכללי, אי-שוויון יאנג אומר שעבור מספרים ממשיים חיוביים $ a,b\geq 0 $, ועבור $ p,q\leq 1 $ כך ש $ {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1, $,
$ {\displaystyle ab~\leq ~{\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}} $
השוויון מתקבל אם ורק אם $ a^{p}=b^{q} $.
הוכחה עבור חזקה 2
עבור a ו b ממשיים, $ {\displaystyle 0\leq (a-b)^{2}} $ נפתח את הסוגריים, ונקבל: $ {\displaystyle 0\leq a^{2}-2ab+b^{2}} $ נחבר $ 2ab $ לשני הצדדים, $ {\displaystyle 2ab\leq a^{2}+b^{2}} $ ולבסוף, נחלק ב $ 2 $ : $ {\displaystyle ab\leq {\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}} $
הוכחה למקרה הכללי
נשתמש באי-שוויון ינסן. כאשר $ a=0 $ או $ b=0 $ אי השוויון מתקיים. נניח ש $ a>0 $ וגם $ b>0 $. נגדיר $ t=1/p $. נקבל ש $ (1-t)=1/q $.
בגלל שפונקציית הלוגריתם קמורה, ניתן להשתמש באי שיוויון ינסן, ולקבל: $ {\displaystyle \ln \left(ta^{p}+(1-t)b^{q}\right)~\geq ~t\ln \left(a^{p}\right)+(1-t)\ln \left(b^{q}\right)=\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab)} $ נקח אקספוננט בשני הצדדים, ונקבל $ {\displaystyle ta^{p}+(1-t)b^{q}~\geq ~ab} $ נציב את $ t $ ונקבל את אי-שוויון יאנג.
קישורים חיצוניים
- אי-שוויון יאנג, באתר MathWorld (באנגלית)
שגיאות פרמטריות בתבנית:קצרמר
פרמטרי חובה [ 1 ] חסרים
אי-שוויון יאנג38823740Q910563