אי-שוויון יאנג

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, אי-שוויון יאנגאנגלית: Young's inequality for products) הוא אי-שוויון על מכפלה של שני מספרים. אי השוויון נקרא על שמו של המתמטיקאי האנגלי ויליאם הנרי יאנג (אנ'). אחד השימושים לאי-שוויון זה הוא בהוכחת אי-שוויון הלדר.

אי-שוויון יאנג עבור חזקה 2 אומר שעבור מספרים ממשיים חיוביים , מתקיים:

במקרה הכללי, אי-שוויון יאנג אומר שעבור מספרים ממשיים חיוביים , ועבור כך ש ,

השוויון מתקבל אם ורק אם .

הוכחה עבור חזקה 2

עבור a ו b ממשיים,

נפתח את הסוגריים, ונקבל:
נחבר לשני הצדדים,
ולבסוף, נחלק ב  :

הוכחה למקרה הכללי

נשתמש באי-שוויון ינסן. כאשר או אי השוויון מתקיים. נניח ש וגם . נגדיר . נקבל ש .

בגלל שפונקציית הלוגריתם קמורה, ניתן להשתמש באי שיוויון ינסן, ולקבל:

נקח אקספוננט בשני הצדדים, ונקבל
נציב את ונקבל את אי-שוויון יאנג.

קישורים חיצוניים


שגיאות פרמטריות בתבנית:קצרמר

פרמטרי חובה [ 1 ] חסרים

ערך זה הוא קצרמר. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

38823740אי-שוויון יאנג