אי-שוויון הסכומים של צ'בישב

במתמטיקה, אי-שוויון הסכומים של צ'בישב קובע שאם $ \ a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n} $ ו- $ \ b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots \leq b_{n} $ הן שתי סדרות של מספרים, המסודרות באותו כיוון, אז ממוצע המכפלות חוסם את מכפלת הממוצעים, כלומר $ \ {\frac {1}{n}}\sum _{i}a_{i}\cdot {\frac {1}{n}}\sum _{i}b_{i}\leq {\frac {1}{n}}\sum _{i}a_{i}b_{i} $.

אי השוויון קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב, שהציג אותו.

הכללות

למשפט ידועות כמה הוכחות, והכללות רבות. למשל,

• הגרסה המשוקללת: אם $ \ p_{1}+\cdots +p_{n}=1 $ הם מספרים חיוביים ו-$ \ a_{i},b_{i} $ כמקודם, אז $ \ \sum p_{i}a_{i}\cdot \sum p_{i}b_{i}\leq \sum p_{i}a_{i}b_{i} $.
• גרסת המשתנים המקריים: אם X משתנה מקרי בדיד ו- f,g פונקציות מונוטוניות עולות (במובן החלש), אז $ \ E(f(X))E(g(X))\leq E(f(X)g(X)) $; כלומר, בין שתי פונקציות עולות של אותו משתנה מקרי יש מתאם חיובי.
• הגרסה הרציפה: אם f,g פונקציות ממשיות אינטגרביליות על הקטע [0,1], ושתיהן מונוטוניות עולות, אז $ \int _{0}^{1}f(x)dx\int _{0}^{1}g(x)dx\leq \int _{0}^{1}f(x)g(x)dx.\, $.

הוכחת אי-השוויון

מכיוון שהמספרים $ \ a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{n} $ סדורים באותו כיוון, לכל $ \,i,j $ מתקיים $ \ 0\leq (a_{j}-a_{i})(b_{j}-b_{i}) $, כלומר $ \ a_{i}b_{j}+a_{j}b_{i}\leq a_{i}b_{i}+a_{j}b_{j} $. סיכום לכל i ולכל j נותן $ \ 2\sum _{i}a_{i}\sum _{j}b_{j}=\sum _{i,j}(a_{i}b_{j}+a_{j}b_{i})\leq \sum _{i,j}(a_{i}b_{i}+a_{j}b_{j})=2n\sum _{i}a_{i}b_{i} $.

ראו גם

• אי-שוויון התמורות
• אי-שוויון קושי-שוורץ

לקריאה נוספת

• The Cauchy-Shwartz Master class, J. Michael Steele, עמ' 76-78.