אי-שוויון הסכומים של צ'בישב

ערך זה עוסק באי-שוויון על סדרות סופיות. אם התכוונתם לאי-שוויון על משתנים מקריים, ראו אי-שוויון צ'בישב.

במתמטיקה, אי-שוויון הסכומים של צ'בישב קובע שאם $\ a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n}$ ו- $\ b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots \leq b_{n}$ הן שתי סדרות של מספרים, המסודרות באותו כיוון, אז ממוצע המכפלות חוסם את מכפלת הממוצעים, כלומר $\ {\frac {1}{n}}\sum _{i}a_{i}\cdot {\frac {1}{n}}\sum _{i}b_{i}\leq {\frac {1}{n}}\sum _{i}a_{i}b_{i}$ .

אי השוויון קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב, שהציג אותו.

הכללות

למשפט ידועות כמה הוכחות, והכללות רבות. למשל,

הגרסה המשוקללת: אם $\ p_{1}+\cdots +p_{n}=1$ הם מספרים חיוביים ו- $\ a_{i},b_{i}$ כמקודם, אז $\ \sum p_{i}a_{i}\cdot \sum p_{i}b_{i}\leq \sum p_{i}a_{i}b_{i}$ .
גרסת המשתנים המקריים: אם X משתנה מקרי בדיד ו- f,g פונקציות מונוטוניות עולות (במובן החלש), אז $\ E(f(X))E(g(X))\leq E(f(X)g(X))$ ; כלומר, בין שתי פונקציות עולות של אותו משתנה מקרי יש מתאם חיובי.
הגרסה הרציפה: אם f,g פונקציות ממשיות אינטגרביליות על הקטע [0,1], ושתיהן מונוטוניות עולות, אז $\int _{0}^{1}f(x)dx\int _{0}^{1}g(x)dx\leq \int _{0}^{1}f(x)g(x)dx.\,$ .

הוכחת אי-השוויון

מכיוון שהמספרים $\ a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{n}$ סדורים באותו כיוון, לכל $\,i,j$ מתקיים $\ 0\leq (a_{j}-a_{i})(b_{j}-b_{i})$ , כלומר $\ a_{i}b_{j}+a_{j}b_{i}\leq a_{i}b_{i}+a_{j}b_{j}$ . סיכום לכל i ולכל j נותן $\ 2\sum _{i}a_{i}\sum _{j}b_{j}=\sum _{i,j}(a_{i}b_{j}+a_{j}b_{i})\leq \sum _{i,j}(a_{i}b_{i}+a_{j}b_{j})=2n\sum _{i}a_{i}b_{i}$ .