אי-שוויון התמורות
אי-שוויון התמורות הוא אי-שוויון שימושי המאפשר למצוא תמורות שנותנות ערך מקסימלי.
האי-שוויון קובע כי: אם נתונות שתי N-יות סדורות בעלות n איברים, a ו-b, כך שאיברי a מסודרים מהקטן לגדול (נסמן אותם ב- $ a_{1},a_{2}...,a_{n} $) ו-b בסדר מסוים (ומסומנים גם הם $ b_{1},b_{2},...,b_{n} $), אז הביטוי $ a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n} $ מקבל ערך מקסימלי כאשר גם איברי b מסודרים מהקטן לגדול. ערך מינימלי מתקבל כאשר הם מסודרים מהגדול לקטן.
הוכחה
טענת עזר: אם $ a_{1}<a_{2} $ ו-$ b_{1}<b_{2} $, אז $ a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}<a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2} $. הוכחה: ביטוי שקול הוא
- $ 0<a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}-a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} $ או
- $ 0<(a_{1}-a_{2})(b_{1}-b_{2}) $. כיוון שהביטויים בסוגריים הם שליליים, המכפלה שלהם חיובית.
הוכחת האי-שוויון: ניקח תמורה כלשהי על b ונחשב את הביטוי. נשים לב שאם קיימים שני מספרים i>j כך ש-$ b_{i}<b_{j} $, אז נוכל להחליף ביניהם ולהגדיל את ערך הביטוי (על פי טענת העזר). נמשיך בתהליך עד שנגיע למצב שאיברי b מסודרים לפי הסדר. כיוון שבכל שלב הגדלנו את ערך הביטוי, הרי שבסיכומו של דבר הגדלנו אותו ולכן בתמורה שבה איברי b מסודרים לפי הסדר הערך גדול יותר מאשר זאת שבחרנו. כיוון שהסבר זה לא תלוי מאיזה תמורה התחלנו, הוא נכון לכל תמורה, ולכן התמורה בה איברי b מסודרים לפי הסדר היא זאת שנותנת את הערך המקסימלי.
ההוכחה שכאשר איברי b מסודרים מהגדול לקטן מתקבל ערך מינימלי אנלוגית לחלוטין.
אי-שוויון התמורות21276676Q1149189