אי-שוויון ברנולי

אי-שוויון ברנולי הוא האי-שוויון $\ (1+x)^{n}\geq 1+nx$ לכל מספר שלם $\ n\geq 0$ ולכל מספר ממשי $\ x>-1$ . אי-שוויון ברנולי הוא יסודי ושימושי באנליזה מתמטית. בעזרתו אפשר להראות שהסדרה $\ \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ עולה בזמן שהסדרה $\ \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}$ יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי, $\ e=2.718...$ , כגבולן המשותף.

תחולה

אי השוויון נכון לכל $\,n$ ממשי, ובלבד ש- $\ n\geq 1$ (את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים). כאשר n טבעי זוגי, אי השוויון נכון לכל $\ x$ , וכאשר n אי-זוגי, הוא נכון לכל $\ -2<x$ (ואף מעט משמאל לנקודה 2-).

הוכחה

עבור $x>0$ אפשר להוכיח במהירות על פי נוסחת הבינום של ניוטון:

$(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}1^{n-k}x^{k}\geq {\binom {n}{0}}1^{n}x^{0}+{\binom {n}{1}}1^{n-1}x^{1}=1+nx$ .

את המקרה הכללי (היינו $x>-1$ ) ניתן להוכיח באינדוקציה:

עבור $\ n=1$ מתקיים: $\ (1+x)^{1}=1+x\geq 1+x$ . נניח את נכונות אי-השוויון עבור $\ n=t$ , ונוכיח את נכונותו עבור $\ n=t+1$ (t טבעי כלשהו). כלומר, נניח ש: $\ (1+x)^{t}\geq 1+tx$ , ונוכיח ש- $\ (1+x)^{t+1}\geq 1+(t+1)\cdot x$ . נשים לב ש- $\ x>-1$ ולכן: $\ (1+x)>0$ . מכיוון שכפל של אי-שוויון בגורם חיובי לא משנה את כיוונו, מתקיים: $\ (1+x)\cdot (1+x)^{t}\geq (1+x)\cdot (1+tx)$ , ומכאן: $\ (1+x)^{t+1}\geq 1+tx+x+tx^{2}$ . הביטוי $\ tx^{2}$ חיובי (כי $\ x^{2}\geq 0$ וגם $t\geq 0$ ) ולכן מתקיים: $\ (1+x)^{t+1}\geq 1+tx+x+tx^{2}\geq 1+tx+x=1+(t+1)\cdot x$ .