אי-שוויון ברנולי
אי-שוויון ברנולי הוא האי-שוויון $ \ (1+x)^{n}\geq 1+nx $לכל מספר שלם $ \ n\geq 0 $ ולכל מספר ממשי $ \ x>-1 $. אי-שוויון ברנולי הוא יסודי ושימושי באנליזה מתמטית. בעזרתו אפשר להראות שהסדרה $ \ \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n} $ עולה בזמן שהסדרה $ \ \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1} $ יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי, $ \ e=2.718... $, כגבולן המשותף.
תחולה
אי השוויון נכון לכל $ \,n $ ממשי, ובלבד ש-$ \ n\geq 1 $ (את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים). כאשר n טבעי זוגי, אי השוויון נכון לכל $ \ x $, וכאשר n אי-זוגי, הוא נכון לכל $ \ -2<x $ (ואף מעט משמאל לנקודה 2-).
הוכחה
עבור $ x>0 $ אפשר להוכיח במהירות על פי נוסחת הבינום של ניוטון:
$ (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}1^{n-k}x^{k}\geq {\binom {n}{0}}1^{n}x^{0}+{\binom {n}{1}}1^{n-1}x^{1}=1+nx $.
את המקרה הכללי (היינו $ x>-1 $) ניתן להוכיח באינדוקציה:
עבור $ \ n=1 $ מתקיים: $ \ (1+x)^{1}=1+x\geq 1+x $. נניח את נכונות אי-השוויון עבור $ \ n=t $, ונוכיח את נכונותו עבור $ \ n=t+1 $ (t טבעי כלשהו). כלומר, נניח ש: $ \ (1+x)^{t}\geq 1+tx $, ונוכיח ש-$ \ (1+x)^{t+1}\geq 1+(t+1)\cdot x $. נשים לב ש-$ \ x>-1 $ ולכן: $ \ (1+x)>0 $. מכיוון שכפל של אי-שוויון בגורם חיובי לא משנה את כיוונו, מתקיים: $ \ (1+x)\cdot (1+x)^{t}\geq (1+x)\cdot (1+tx) $, ומכאן: $ \ (1+x)^{t+1}\geq 1+tx+x+tx^{2} $. הביטוי $ \ tx^{2} $ חיובי (כי $ \ x^{2}\geq 0 $ וגם $ t\geq 0 $) ולכן מתקיים: $ \ (1+x)^{t+1}\geq 1+tx+x+tx^{2}\geq 1+tx+x=1+(t+1)\cdot x $.
הכללה
לכל חזקה ממשית $ r\, $ ניתן להכליל את האי-שוויון כך שעבור כל $ r\notin (0,1) $ ולכל $ \ x>-1 $
- $ (1+x)^{r}\geq 1+rx $
ועבור כל $ r\in [0,1] $
- $ (1+x)^{r}\leq 1+rx $
כאמור, את ההכללה אפשר להוכיח בעזרת הנגזרת.
קישורים חיצוניים
- אי-שוויון ברנולי, באתר MathWorld (באנגלית)
אי-שוויון ברנולי32797935Q728662