המחשה גרפית של אי-שוויון ברנולי, עבור n=3
אי-שוויון ברנולי הוא האי-שוויון לכל מספר שלם ולכל מספר ממשי . אי-שוויון ברנולי הוא יסודי ושימושי באנליזה מתמטית. בעזרתו אפשר להראות שהסדרה עולה בזמן שהסדרה יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי, , כגבולן המשותף.
תחולה
אי השוויון נכון לכל ממשי, ובלבד ש- (את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים). כאשר n טבעי זוגי, אי השוויון נכון לכל , וכאשר n אי-זוגי, הוא נכון לכל (ואף מעט משמאל לנקודה 2-).
הוכחה
עבור אפשר להוכיח במהירות על פי נוסחת הבינום של ניוטון:
.
את המקרה הכללי (היינו ) ניתן להוכיח באינדוקציה:
עבור מתקיים: .
נניח את נכונות אי-השוויון עבור , ונוכיח את נכונותו עבור (t טבעי כלשהו). כלומר, נניח ש: , ונוכיח ש-. נשים לב ש- ולכן: . מכיוון שכפל של אי-שוויון בגורם חיובי לא משנה את כיוונו, מתקיים: , ומכאן: . הביטוי חיובי (כי וגם ) ולכן מתקיים: .
הכללה
לכל חזקה ממשית ניתן להכליל את האי-שוויון כך שעבור כל ולכל
ועבור כל
כאמור, את ההכללה אפשר להוכיח בעזרת הנגזרת.
קישורים חיצוניים
32797935אי-שוויון ברנולי