אי-שוויון ברנולי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
המחשה גרפית של אי-שוויון ברנולי, עבור n=3

אי-שוויון ברנולי הוא האי-שוויון לכל מספר שלם ולכל מספר ממשי . אי-שוויון ברנולי הוא יסודי ושימושי באנליזה מתמטית. בעזרתו אפשר להראות שהסדרה עולה בזמן שהסדרה יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי, , כגבולן המשותף.

תחולה

אי השוויון נכון לכל ממשי, ובלבד ש- (את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים). כאשר n טבעי זוגי, אי השוויון נכון לכל , וכאשר n אי-זוגי, הוא נכון לכל (ואף מעט משמאל לנקודה 2-).

הוכחה

עבור אפשר להוכיח במהירות על פי נוסחת הבינום של ניוטון:

.

את המקרה הכללי (היינו ) ניתן להוכיח באינדוקציה:

עבור מתקיים: . נניח את נכונות אי-השוויון עבור , ונוכיח את נכונותו עבור (t טבעי כלשהו). כלומר, נניח ש: , ונוכיח ש-. נשים לב ש- ולכן: . מכיוון שכפל של אי-שוויון בגורם חיובי לא משנה את כיוונו, מתקיים: , ומכאן: . הביטוי חיובי (כי וגם ) ולכן מתקיים: .

הכללה

לכל חזקה ממשית ניתן להכליל את האי-שוויון כך שעבור כל ולכל

ועבור כל

כאמור, את ההכללה אפשר להוכיח בעזרת הנגזרת.

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא אי-שוויון ברנולי בוויקישיתוף
  • אי-שוויון ברנולי, באתר MathWorld (באנגלית)   המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.
Logo hamichlol 3.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0