משתנה מציין

בהסתברות, משתנה מציין, או משתנה אינדיקטור, הוא משתנה מקרי שמציין האם מאורע מסוים התרחש. כאשר המאורע התרחש, הערך שלו הוא $\ 1$ , וכאשר המאורע לא התרחש ערכו $\ 0$ .

כך, נקבל כי ההתפלגות של $\ X$ , משתנה מציין למאורע $\ A$ , היא $\ P(X=x)=\left\{{\begin{array}{lc}P(A)&x=1\\1-P(A)&x=0\end{array}}\right.$ . מכך נובע כי התוחלת של $\ X$ היא $\ E[X]=P(A)\cdot 1+(1-P(A))\cdot 0=P(A)$ .

המשתנה המציין שימושי למשל כאשר מעוניינים לחשב תוחלת של משתנה מקרי מסוים שניתן לבטאו כסכום של משתנים מציינים, ואז ניתן להיעזר בליניאריות התוחלת ולהגיע בקלות לתוחלת משתנה זה, אם ידועה ההסתברות להתרחשות המאורעות שהמשתנים המציינים מייצגים.

דוגמה

להלן דוגמה לפתרון בעיה באמצעות משתנים מציינים. מוצגת הבעיה הבאה: פקיד רשלן צריך לשלוח $\ n$ מכתבים ל- $\ n$ יעדים. ברשותו של הפקיד $\ n$ מעטפות ועליהן כתובים היעדים, כשכל מעטפה מתאימה ליעד אחד בדיוק. הפקיד מחלק את המכתבים למעטפות בצורה מקרית, כאשר ההתפלגות של המעטפה הנבחרת בכל שלב היא אחידה. יהא $\ X$ מספר המעטפות שהגיעו ליעד. מה התוחלת של $\ X$ ?

פתרון

כאמור, נוח לפתור בעיה זאת באמצעות משתנים מציינים. נסמן $\ X_{i}$ בתור המשתנה המציין המתאים למאורע שמכתב $\ i$ הגיע ליעד. אזי בגלל שההתפלגות אחידה, לכל מכתב ההסתברות שהוא הגיע ליעד היא ${\frac {1}{n}}$ . נשים לב כי $\ X=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ , לפיכך לפי ליניאריות התוחלת $\ E[X]=\sum _{i=1}^{n}E[X_{i}]=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}={\frac {1}{n}}\cdot n=1$ .