אידיאל (אלגברת לי)
באלגברה מופשטת, אידיאל של אלגברת לי הוא תת-מרחב וקטורי שלה הסגור לפעולה. האידיאלים של אלגברת לי מקבילים לתת חבורות בתורת החבורות ולאידיאלים של חוגים, ומהווים מינוח בסיסי וחשוב בתורת המבנה של אלגברות לי.
הגדרה פורמלית
תהי $ L $ אלגברת לי מעל שדה $ F $. תת-מרחב וקטורי $ I $ של $ L $ נקרא אידיאל אם מתקיים $ \forall x\in L,y\in I:[x,y]\in I $, או בשקילות $ [I,L]\subseteq I $. אם $ I $ אידיאל של $ L $, מסמנים $ I\triangleleft L $.
אלגברת לי נקראת פשוטה אם אין לה אידיאלים לא טריוויאליים.
תכונות
- מרחב האפס והמרחב כולו הם אידיאלים.
- המרכז של אלגברת לי הוא אידיאל.
- $ [L,L] $ אידיאל של $ L $.
- אם $ I,J $ אידיאלים של $ L $ גם סכומם $ I+J=\{i+j:i\in I,j\in J\} $ אידיאל.
אלגברת המנה
באותו האופן בו בונים ממרחב מנה של מרחב וקטורי, או חוג מנה, אפשר לבנות גם אלגברת מנה של אלגברת לי באידיאל נתון שלה.
פורמלית, המרחב מסומן על ידי $ L/I $; כקבוצה הוא שווה למרחב המנה (כמרחב וקטורי), והוא הופך להיות אלגברת לי עם הפעולה $ [x+I,y+I]=[x,y]+I $, שמוגדרת היטב.
לאחר הגדרה זו, אפשר להגדיר הומומורפיזם אלגברות לי (כך שישמור את הפעולה), ולהוכיח את משפטי האיזומורפיזם, בצורה אנלוגית לחלוטין לזו מתורת החוגים.
ראו גם
לקריאה נוספת
- Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, James Humphreys, 6-7
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] אידיאל (אלגברת לי)22144444