אידיאל (אלגברת לי)

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באלגברה מופשטת, אידיאל של אלגברת לי הוא תת-מרחב וקטורי שלה הסגור לפעולה. האידיאלים של אלגברת לי מקבילים לתת חבורות בתורת החבורות ולאידיאלים של חוגים, ומהווים מינוח בסיסי וחשוב בתורת המבנה של אלגברות לי.

הגדרה פורמלית

תהי $ L $ אלגברת לי מעל שדה $ F $. תת-מרחב וקטורי $ I $ של $ L $ נקרא אידיאל אם מתקיים $ \forall x\in L,y\in I:[x,y]\in I $, או בשקילות $ [I,L]\subseteq I $. אם $ I $ אידיאל של $ L $, מסמנים $ I\triangleleft L $.

אלגברת לי נקראת פשוטה אם אין לה אידיאלים לא טריוויאליים.

תכונות

  • מרחב האפס והמרחב כולו הם אידיאלים.
  • המרכז של אלגברת לי הוא אידיאל.
  • $ [L,L] $ אידיאל של $ L $.
  • אם $ I,J $ אידיאלים של $ L $ גם סכומם $ I+J=\{i+j:i\in I,j\in J\} $ אידיאל.

אלגברת המנה

באותו האופן בו בונים ממרחב מנה של מרחב וקטורי, או חוג מנה, אפשר לבנות גם אלגברת מנה של אלגברת לי באידיאל נתון שלה.

פורמלית, המרחב מסומן על ידי $ L/I $; כקבוצה הוא שווה למרחב המנה (כמרחב וקטורי), והוא הופך להיות אלגברת לי עם הפעולה $ [x+I,y+I]=[x,y]+I $, שמוגדרת היטב.

לאחר הגדרה זו, אפשר להגדיר הומומורפיזם אלגברות לי (כך שישמור את הפעולה), ולהוכיח את משפטי האיזומורפיזם, בצורה אנלוגית לחלוטין לזו מתורת החוגים.

ראו גם

לקריאה נוספת

  • Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, James Humphreys, 6-7
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0


שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה

שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ]
אידיאל (אלגברת לי)22144444