נתונים 11 מספרים טבעיים. נתון שאם תוציא אחד מהם, תוכל לחלק את ה-10 האחרים לשתי קבוצות שכל אחת מהן מורכבת מ-5 מספרים, כך שסכומן זהה. הוכח שכל 11 המספרים שווים זה לזה.
| פתרון
|
| ראשית נשים לב שמותר לנו לחסר מכל המספרים אותו מספר, וכן לחלק אותם באותו מספר. אכן, אם נחסיר מכולם a אז נחסיר מסכום כל קבוצה 5a, ולכן הן ישארו שוות. כמו כן אם נחלק כל מספר ב-a נחלק גם את הסכום ב-a, ולכן גם זה לא ישנה. בנוסף, נשים לב שכל המספרים בעלי אותה זוגיות (כולם זוגיים או אי-זוגיים), כיוון שאם זה לא ככה, זה אומר שניתן לבחור 10 מספרים כך שסכומם אי-זוגי ואי אפשר לחלק שווה בשווה. נחסיר מכל המספרים את המספר הקטן ביותר. נקבל שאחד המספרים הוא 0. כיוון ש-0 הוא זוגי, כל שאר המספרים זוגיים גם הם, ולכן נחלק את כולם ב-2. כיוון שהתנאי המקורי נשמר (הוכחנו שכל הפעולות שעשינו לא משפיעות עליו) עדיין כל המספרים זוגיים, ולכן אפשר שוב לחלק את כולם ב-2. אלא אם כן כולם שווים ל-0, נקבל סתירה מכיוון שאין מספר שלם חיובי שניתן לחלק אינספוף פעמים ב-2. מכאן שכל המספרים המקוריים היו שווים.
|
|