אי-תלות אלגברית

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה קומוטטיבית, תת קבוצה S של אלגברה A נקראת בלתי תלויה אלגברית מעל שדה הבסיס K, אם לא קיים פולינום לא טריוויאלי עם מקדמים מ-K שמתאפס על ידי תת-קבוצה סופית של איברי S. במילים אחרות, S היא בלתי תלויה אלגברית אם לכל $\,\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}$ ב-S ולכל פולינום $p\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ שאינו פולינום האפס, $\,p(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\neq 0$ . בפרט, קבוצה בת איבר אחד $\,\{\alpha \}$ היא בלתי תלויה אלגברית מעל K אם ורק אם $\alpha$ הוא טרנסצנדנטי מעל K. באופן כללי יותר, כל איבריה של קבוצה בלתי תלויה אלגברית הם איברים טרנסצנדנטיים מעל K, אך זהו בוודאי לא תנאי מספיק לכך. לדוגמה, תת-הקבוצה $\,\{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}$ של שדה המספרים הממשיים היא לא בלתי תלויה אלגברית מעל שדה המספרים הרציונליים, מכיוון שעבור הפולינום עם המקדמים הרציונלים

\,p(x_{1},x_{2})=2{x_{1}}^{2}-x_{2}+1

מתקיים

\,p({\sqrt {\pi }},2\pi +1)=0

.

המספר הגדול ביותר של איברים בלתי תלויים אלגברית נקרא דרגת הטרנסצנדנטיות של A מעל K.

השאלה האם הקבוצה $\,\{\pi ,e\}$ היא תלויה אלגברית מעל המספרים הרציונליים היא בעיה פתוחה במתמטיקה. ב-1996 הוכיח יורי נסטרנקו כי הקבוצה $\{\pi ,e^{\pi },\Gamma ({\frac {1}{4}})\}$ היא בלתי תלויה אלגברית מעל $\,\mathbb {Q}$ .

משפט לינדמן-ויירשטראס

ערך מורחב – משפט לינדמן-ויירשטראס

לעיתים קרובות ניתן להשתמש במשפט לינדמן-ויירשטראס על מנת להוכיח כי קבוצה מסוימת היא בלתי תלויה אלגברית מעל שדה הרציונלים. המשפט נקרא על שמם של פרדיננד לינדמן וקארל ויירשטראס. לינדמן הוכיח ב-1882 כי $\,e^{\alpha }$ הוא מספר טרנסצנדנטי לכל $\alpha$ אלגברי שונה מ-0. ויירשטראס הוכיח ב-1885 את הגרסה הכללית יותר של המשפט הטוענת כי אם $\,\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ הם מספרים אלגברים בלתי תלויים ליניארית מעל $\,\mathbb {Q}$ אז המספרים $\,e^{\alpha _{1}},\dots ,e^{\alpha _{n}}$ הם בלתי תלויים אלגברית מעל $\,\mathbb {Q}$ .