נשתמש באקסיומת האינדוקציה הרגילה.
נגדיר קבוצה
המקיימת
![{\displaystyle 1\in S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc2e3bdffbb16f850a092243fdd03d484174ed37)
![{\displaystyle \{1,\ldots ,n\}\subseteq S\implies n+1\in S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e510d1ae9ee3152fd7297ee877e6d5bec4163b44)
עלינו להוכיח כי
, כלומר להוכיח את עקרון האינדוקציה השלמה.
נגדיר טענה
כלשהיא המקיימת
![{\displaystyle P(n)\iff \{1,\ldots ,n\}\subseteq S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6405f74e20303bf0690ba47fbb5e2d6c96d623c6)
נגדיר קבוצה המקיימת
![{\displaystyle S'=\{n\in \mathbb {N} :P(n){\text{ true}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1cd16f4a889e14ddb5ec71fdaaf41a73196f36)
נכונה מהגדרה (1), לכן
.
נניח
נכונה עבור
. לכן
ומהגדרה (2)
![{\displaystyle \{1,\ldots ,k\}\subseteq S\implies k+1\in S\implies \{1,\ldots ,k+1\}\subseteq S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f119f7fcdd006eb769e0c2df7ec8690c57a89256)
לכן
נכונה ומכאן
.
מקיימת את התנאים של
, לכן
והטענה
נכונה לכל
.
באופן דומה גם
.
יהודה שמחה ולדמן (שיחה) 11:58, 1 באוקטובר 2017 (IDT)תגובה[תגובה]