רדיקל של אידיאל
(הופנה מהדף רדיקל של אידאל)
בתורת החוגים, הרדיקל של אידיאל $ A $ בחוג $ R $ הוא החיתוך של כל האידיאלים הראשוניים המכילים את $ A $. בחוג קומוטטיבי, הרדיקל כולל את כל האיברים שחזקה כלשהי שלהם שייכת ל-$ A $, ועל-כן מסמנים את הרדיקל של $ A $ בסימון $ {\sqrt {A}} $. הרדיקל הוא אידיאל בעצמו, ותמיד $ A\subseteq {\sqrt {A}} $.
הרדיקל של כל אידיאל הוא אידיאל רדיקלי, כלומר שווה לרדיקל של עצמו. כל אידיאל ראשוני הוא רדיקלי, אבל ההפך אינו נכון ($ 6\mathbb {Z} $ רדיקלי אבל אינו ראשוני).
הקשר בין אידיאלים רדיקליים של חוג הפולינומים $ F[\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}] $ לבין יריעות אלגבריות הוא אחד הרעיונות היסודיים בגאומטריה אלגברית (ראו גם - משפט האפסים של הילברט).
תכונות
- אם $ I,J $ אידיאלים בחוג $ R $ ו-$ I\subseteq J $, אז $ {\sqrt {I}}\subseteq {\sqrt {J}} $.
- לכל שני אידיאלים $ I,J $ מתקיים $ {\sqrt {I+J}}={\sqrt {{\sqrt {I}}+{\sqrt {J}}}} $.
דוגמאות
- בחוג השלמים, הרדיקל של האידיאל $ n\mathbb {Z} $ נוצר על ידי הרדיקל של $ n $: מכפלת הראשוניים השונים המחלקים את $ n $. לדוגמה, $ {\sqrt {180\mathbb {Z} }}=30\mathbb {Z} $. מושג הרדיקל של אידיאל מכליל, לפיכך, את הרדיקל של מספרים שלמים.
- לכל חוג $ R $, הרדיקל של $ ({x}^{2}) $ בחוג הפולינומים $ R[x] $ הוא $ (x) $.
רדיקל של אידיאל28196508