קבוע הפרבולה האוניברסלי

קבוע הפרבולה האוניברסלי הוא היחס בין הקטע האדום לקטע הירוק.

במתמטיקה, קבוע הפרבולה האוניברסלי הוא קבוע מתמטי טרנסצנדנטי המוגדר עבור כל פרבולה כיחס בין אורך הקשת והקטע המחבר בין ציר הסימטריה והמדריך (ראו שרטוט). ערכו של הקבוע הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P=\ln(1+\sqrt2)+\sqrt2=2.29558714939\ldots}

הפרבולה והמעגל הם חתכי החרוט היחידים שיש להם קבוע אוניברסלי (למעגל יש את המספר פאי).

חישוב

אם נסתכל על פרבולה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\frac{x^2}{4f}} , ונחשב ממנה את הקבוע:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}P&:=\frac1p\int\limits_{-\ell}^\ell\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx\\&=\frac{1}{2f}\int\limits_{-2f}^{2f}\sqrt{1+\frac{x^2}{4f^2}}\,dx\\&=\int\limits_{-1}^1\sqrt{1+t^2}\,dt\qquad(x=2ft)\\&=\text{arsinh}(1)+\sqrt{2}\\&=\ln(1+\sqrt2)+\sqrt2\end{align}}

המדריך של הפרבולה היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ell=2f} והמוקד הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=2f} .

שימושים ומאפיינים

קבוע הפרבולה האוניברסלי הוא מספר טרנסצנדנטי מכיוון שאם נניח שהוא אלגברי ונחסר שורש שתיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P-\sqrt2=\ln(1+\sqrt2)} ונעלה בחזקת e אז נקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{\ln(1+\sqrt2)}=1+\sqrt2} , ועל פי משפט לינדמן-ויירשטראס, אז זה אומר שהמספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt2-1} הוא טרנסצנדנטי, וזה סתירה. לכן הקבוע טרנסצנדנטי, ומכאן הוא גם מספר אי-רציונלי.

המספר גם משומש במשפט הבא: המרחק הממוצע של נקודה אקראית למרכז ריבוע היחידה הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d_\text{avg}=\frac{P}{6}}

הוכחה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}d_\text{avg}&:=8\int\limits_0^\frac12\int\limits_0^x\sqrt{x^2+y^2}\,dy\,dx\\&=8\int\limits_0^\frac12\frac{x^2}{2}\big(\ln(1+\sqrt2)+\sqrt2\big)dx\\&=4P\int\limits_0^\frac12x^2dx\\&=\frac{P}{6}\end{align}}

קבוע_הפרבולה_האוניברסלי18128756Q7894145