קבוע הפרבולה האוניברסלי

קבוע הפרבולה האוניברסלי הוא היחס בין הקטע האדום לקטע הירוק.

במתמטיקה, קבוע הפרבולה האוניברסלי הוא קבוע מתמטי טרנסצנדנטי המוגדר עבור כל פרבולה כיחס בין אורך הקשת והקטע המחבר בין ציר הסימטריה והמדריך (ראו שרטוט). ערכו של הקבוע הוא:

$P=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}=2.29558714939\ldots$

הפרבולה והמעגל הם חתכי החרוט היחידים שיש להם קבוע אוניברסלי (למעגל יש את המספר פאי).

חישוב

אם נסתכל על פרבולה $y={\frac {x^{2}}{4f}}$ , ונחשב ממנה את הקבוע:

${\begin{aligned}P&:={\frac {1}{p}}\int \limits _{-\ell }^{\ell }{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx\\&={\frac {1}{2f}}\int \limits _{-2f}^{2f}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{4f^{2}}}}}\,dx\\&=\int \limits _{-1}^{1}{\sqrt {1+t^{2}}}\,dt\qquad (x=2ft)\\&={\text{arsinh}}(1)+{\sqrt {2}}\\&=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}\end{aligned}}$

המדריך של הפרבולה היא $\ell =2f$ והמוקד הוא $p=2f$ .

שימושים ומאפיינים

קבוע הפרבולה האוניברסלי הוא מספר טרנסצנדנטי מכיוון שאם נניח שהוא אלגברי ונחסר שורש שתיים $P-{\sqrt {2}}=\ln(1+{\sqrt {2}})$ ונעלה בחזקת e אז נקבל $e^{\ln(1+{\sqrt {2}})}=1+{\sqrt {2}}$ , ועל פי משפט לינדמן-ויירשטראס, אז זה אומר שהמספר ${\sqrt {2}}-1$ הוא טרנסצנדנטי, וזה סתירה. לכן הקבוע טרנסצנדנטי, ומכאן הוא גם מספר אי-רציונלי.

המספר גם משומש במשפט הבא: המרחק הממוצע של נקודה אקראית למרכז ריבוע היחידה הוא:

$d_{\text{avg}}={\frac {P}{6}}$

הוכחה

${\begin{aligned}d_{\text{avg}}&:=8\int \limits _{0}^{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,dy\,dx\\&=8\int \limits _{0}^{\frac {1}{2}}{\frac {x^{2}}{2}}{\big (}\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}{\big )}dx\\&=4P\int \limits _{0}^{\frac {1}{2}}x^{2}dx\\&={\frac {P}{6}}\end{aligned}}$