קבוע דה ברויין-ניומן

במתמטיקה, קבוע דה־ברוין–ניומן $\Lambda$ הוא קבוע מתמטי ממשי, שערכו אינו ידוע. הקבוע מוגדר באמצעות משפחה חד־פרמטרית של פונקציות מרוכבות $H_{t}(z)$, וחשיבותו בכך שהשערת רימן שקולה לכך שהוא אינו גדול מאפס. ידוע כי $\Lambda \geq 0$.

אם מגדירים $\Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }\pi n^{2}(2\pi n^{2}e^{4u}-3)e^{5u-\pi n^{2}e^{4u}}$ (כאשר $u\geq 0$ ממשי), אפשר לבטא את פונקציית קסי של רימן כאינטגרל ${\tfrac {1}{8}}\xi \left({\tfrac {z}{2}}\right)=\int \limits _{0}^{\infty }\Phi (u)\cos(zu)du$ (כאשר $z$ מרוכב).

השערת רימן שקולה לטענה כי $\xi$ היא בעלת שורשים ממשיים בלבד (כלומר, כל הערכים $z\in \mathbb {C}$ שעבורם $\xi (z)=0$ הם ממשיים). את ההגדרה הזו אפשר להכליל באמצעות הוספת פרמטר ממשי $\lambda$ למשפחת פונקציות $H_{\lambda }(z)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)du$, כך ש־${\tfrac {1}{8}}\xi \left({\tfrac {z}{2}}\right)=H_{0}(z)$.

בהקשר זה, טבעי לשאול עבור אלו ערכי $\lambda$ הפונקציה $H_{\lambda }(z)$ בעלת שורשים ממשיים בלבד. הקבוע $\Lambda$ מוגדר כאינפימום של קבוצת הערכים $\lambda$ שעבורם $H_{\lambda }(z)$ בעלת שורשים ממשיים בלבד. לאור הקשר בין הפונקציה קסי ובין $H_{0}$, השערת רימן שקולה לטענה $\Lambda \leq 0$.

ניקולס חוורט דה ברוין הוכיח ב־1950 כי $H_{\lambda }(z)$ בעלת שורשים ממשיים בלבד לכל $\lambda >\Lambda$, ואינה כזו לכל $\lambda <\Lambda$. בנוסף, הוא הוכיח כי $\Lambda \leq {\tfrac {1}{2}}$. צ'רלס ניומן השלים את התמונה בשנת 1976, בהוכיחו כי $H_{\lambda }(z)$ בעלת שורשים ממשיים בלבד גם עבור $\lambda =\Lambda$, ושיער כי $\Lambda \geq 0$; כלומר, $H_{\lambda }$ אינה בעלת שורשים ממשיים בלבד כאשר $\lambda <0$.

הגבול התחתון הטוב ביותר הידוע עבור הקבוע השתפר בהדרגה, לפי הטבלה הבאה:

שנה	גבול תחתון ידוע	מקור
1988	50-
1991	5-
1990	0.385-
1994	$-4.379\cdot 10^{-6}$	וארגה, סורדאס, סמית'
1993	$-5.895\cdot 10^{-9}$	אודליזקו, וארגה, סורדאס, סמית'
2000	$-2.7\cdot 10^{-9}$
2011	$-1.1\cdot 10^{-12}$
2018	0	טרנס טאו, רוג'רס [1]

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0