קבוע דה ברויין-ניומן
במתמטיקה, קבוע דה־ברוין–ניומן $ \Lambda $ הוא קבוע מתמטי ממשי, שערכו אינו ידוע. הקבוע מוגדר באמצעות משפחה חד־פרמטרית של פונקציות מרוכבות $ H_{t}(z) $, וחשיבותו בכך שהשערת רימן שקולה לכך שהוא אינו גדול מאפס. ידוע כי $ \Lambda \geq 0 $.
אם מגדירים $ \Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }\pi n^{2}(2\pi n^{2}e^{4u}-3)e^{5u-\pi n^{2}e^{4u}} $ (כאשר $ u\geq 0 $ ממשי), אפשר לבטא את פונקציית קסי של רימן כאינטגרל $ {\tfrac {1}{8}}\xi \left({\tfrac {z}{2}}\right)=\int \limits _{0}^{\infty }\Phi (u)\cos(zu)du $ (כאשר $ z $ מרוכב).
השערת רימן שקולה לטענה כי $ \xi $ היא בעלת שורשים ממשיים בלבד (כלומר, כל הערכים $ z\in \mathbb {C} $ שעבורם $ \xi (z)=0 $ הם ממשיים). את ההגדרה הזו אפשר להכליל באמצעות הוספת פרמטר ממשי $ \lambda $ למשפחת פונקציות $ H_{\lambda }(z)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)du $, כך ש־$ {\tfrac {1}{8}}\xi \left({\tfrac {z}{2}}\right)=H_{0}(z) $.
בהקשר זה, טבעי לשאול עבור אלו ערכי $ \lambda $ הפונקציה $ H_{\lambda }(z) $ בעלת שורשים ממשיים בלבד. הקבוע $ \Lambda $ מוגדר כאינפימום של קבוצת הערכים $ \lambda $ שעבורם $ H_{\lambda }(z) $ בעלת שורשים ממשיים בלבד. לאור הקשר בין הפונקציה קסי ובין $ H_{0} $, השערת רימן שקולה לטענה $ \Lambda \leq 0 $.
ניקולס חוורט דה ברוין הוכיח ב־1950 כי $ H_{\lambda }(z) $ בעלת שורשים ממשיים בלבד לכל $ \lambda >\Lambda $, ואינה כזו לכל $ \lambda <\Lambda $. בנוסף, הוא הוכיח כי $ \Lambda \leq {\tfrac {1}{2}} $. צ'רלס ניומן השלים את התמונה בשנת 1976, בהוכיחו כי $ H_{\lambda }(z) $ בעלת שורשים ממשיים בלבד גם עבור $ \lambda =\Lambda $, ושיער כי $ \Lambda \geq 0 $; כלומר, $ H_{\lambda } $ אינה בעלת שורשים ממשיים בלבד כאשר $ \lambda <0 $.
הגבול התחתון הטוב ביותר הידוע עבור הקבוע השתפר בהדרגה, לפי הטבלה הבאה:
| שנה | גבול תחתון ידוע | מקור |
|---|---|---|
| 1988 | 50- | |
| 1991 | 5- | |
| 1990 | 0.385- | |
| 1994 | $ -4.379\cdot 10^{-6} $ | וארגה, סורדאס, סמית' |
| 1993 | $ -5.895\cdot 10^{-9} $ | אודליזקו, וארגה, סורדאס, סמית' |
| 2000 | $ -2.7\cdot 10^{-9} $ | |
| 2011 | $ -1.1\cdot 10^{-12} $ | |
| 2018 | 0 | טרנס טאו, רוג'רס [1] |
