פפיאן

באלגברה לינארית, הפפיאן של מטריצה מסדר זוגי הוא פולינום מסוים באברי המטריצה, שיש לו קשר לדטרמיננטה. הפפיאן הופיע לראשונה בעבודות של יוהאן פרידריך פף (Pfaff) ב-1815, וקיבל את שמו מידי ארתור קיילי ב-1852. את הפפיאן של מטריצה A מסמנים $\ \operatorname {Pf} (A)$. תכונתו החשובה ביותר היא שהדטרמיננטה של מטריצה אנטי-סימטרית שווה לריבוע הפפיאן. גם הדטרמיננטה של מטריצה סימטרית ביחס לאינוולוציה סימפלקטית שווה לריבוע הפפיאן.

פף חקר מערכות של משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, ונתקל בתנאי השקול לכך שהפפיאן של מטריצה אנטי-סימטרית מסוימת אינו מתאפס. ב-1827 זיהה קרל גוסטב יעקובי שהתנאי החישובי של פף שקול לכך שהדטרמיננטה של אותה מטריצה שונה מאפס. בעקבות זאת הוכיח קיילי ב-1847 שאם A אנטי-סימטרית, אז $\ \det(A)=\operatorname {Pf} (A)^{2}$. ביחס לפעולת החפיפה, הפפיאן מקיים $\ \operatorname {Pf} (BAB^{t})=\det(B)\cdot \operatorname {Pf} (A)$.

הפפיאן של מטריצה $\ (a_{ij})$ מסדר $\ 2m\times 2m$ מוגדר לפי הנוסחה $\ \operatorname {Pf} (A)={\frac {1}{2^{m}m!}}\sum _{\sigma \in S_{2m}}(\operatorname {sgn} \sigma )a_{\sigma (1),\sigma (2)}a_{\sigma (3),\sigma (4)}\cdots a_{\sigma (2m-1),\sigma (2m)}$. אם המטריצה אנטי-סימטרית, מספיק לעבור על התמורות המקיימות $\ \sigma (2i-1)<\sigma (2i)$ לכל i, ו- $\ \sigma (1)<\sigma (3)<\cdots <\sigma (2m-1)$, ללא המקדם המוביל, וכך ההגדרה טובה מעל שדה מכל מאפיין. לדוגמה, $\ \operatorname {Pf} \left({\begin{array}{cc}0&a\\-a&0\end{array}}\right)=a$, ו- $\ \operatorname {Pf} \left({\begin{array}{cccc}0&a&x&t\\-a&0&s&y\\-x&-s&0&c\\-t&-y&-c&0\end{array}}\right)=ac+ts-xy$. בדומה לזה, הפפיאן של $\ \left({\begin{array}{cccc}a&b&0&\alpha \\c&d&-\alpha &0\\0&\beta &a&c\\-\beta &0&b&d\end{array}}\right)$, שהיא סימטרית ביחס לאינוולוציה הסימפלקטית, הוא $\ ad-bc+\alpha \beta$.