משפט הפירוק של הלמהולץ

בפיזיקה ובמתמטיקה, ובפרט בתחום של אנליזה וקטורית, משפט הפירוק של הלמהולץ, הידוע גם כמשפט היסודי של אנליזה וקטורית, קובע שכל שדה וקטורי תלת-ממדי, גזיר ברציפות פעמיים, הדועך מהר מספיק באינסוף, יכול להיות מוצג כסכום של שדה סולנואידי ושדה משמר. פירוק כזה ידוע כפירוק הלמהולץ. המשפט נקרא על שמו של הפיזיקאי הרמן פון הלמהולץ.

מאחר שלכל שדה סולונואידי קיים פוטנציאל וקטורי, ולכל שדה משמר קיים פוטנציאל סקלרי, משפט הפירוק קובע שכל שדה המקיים את תנאי המשפט יכול להיות מוצג על ידי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{F}= -\nabla\phi + \nabla\times \mathbf{A}} . כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi} הוא הפוטנציאל הסקלרי ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{A}} הוא הפוטנציאל הווקטורי.

ניסוח

יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{F}} שדה וקטורי גזיר ברציפות פעמיים המוגדר בתחום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{V}\subseteq\R^3} ויהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{S}} המשטח התוחם את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} . אזי קיימים שדה סולונואידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{R}=\nabla\times\mathbf{A}} ושדה משמר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{D}= -\nabla \phi} . כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{F}= \mathbf{D} + \mathbf{R} = -\nabla\phi + \nabla\times \mathbf{A}} . כאשר מתקיים:

$\phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\iiint _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\mathbf {V} '-{\frac {1}{4\pi }}\oiint _{S}{\hat {n}}'\cdot {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\mathbf {S} '$

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})= \frac{1}{4\pi}\iiint_V \frac{\nabla'\times \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mathbf{V}' -\frac{1}{4\pi}\oiint_S \hat{n}'\times \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mathbf{S}' }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla'} הוא אופרטור הדל ביחס ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{r}'} .

פירוקים אלו אינם ייחודיים מכיוון שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi, \mathbf{A}} מקיימים את הפירוק ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Phi} הוא שדה הרמוני (כלומר שדה המקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla^2\Phi = 0} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla^2} הוא לפלסיאן וקטורי) אז מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\nabla (\phi+\nabla\Phi) + \nabla\times (\mathbf{A} + \nabla \times \Phi) = -\nabla \phi + \nabla\times \mathbf{A} - \nabla(\nabla\Phi) + \nabla\times(\nabla \times\Phi) = -\nabla \phi + \nabla\times \mathbf{A} - \nabla^2\Phi = \mathbf{F} }

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{V}=\R^3} , ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{F}} דועכת מהר יותר מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{r}} בגבול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{r}\to\infty} אזי מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi(\mathbf{r})= \frac{1}{4\pi}\iiint_V \frac{\nabla'\cdot \mathbf{F}(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mathbf{V}' }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})= \frac{1}{4\pi}\iiint_V \frac{\nabla'\times \mathbf{F}(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mathbf{V}' }

במקרה זה הפירוק המתקבל הוא הפירוק היחידי עבורו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi, \mathbf{A}} דועכים לאפס בגבול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{r}\to\infty} .

פיתוח

הפיתוח של פירוק הלמהולץ מסתמך על חישוב באמצעות פונקציית גרין של אופרטור הלפלסיאן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r}') = \nabla^2 \left( -\frac{1}{4\pi}\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| }\right)}

מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \mathbf{F}(\mathbf{r}) &= \int_V \mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)\delta^3 (\mathbf{r}-\mathbf{r}')\mathrm{d}V'= \\ &=\int_V\mathbf{F}(\mathbf{r}')\left(-\frac{1}{4\pi}\nabla^2\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\right)\mathrm{d}V'= \\ &=-\frac{1}{4\pi}\nabla^2 \int_V \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' =_{\nabla^2\mathbf{V}=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{V}) - \nabla\times(\nabla\times\mathbf{V})} \\ &=-\frac{1}{4\pi}\left[\nabla\left(\nabla\cdot\int_V\frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)-\nabla\times\left(\nabla\times\int_V\frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\right]= \\ &= -\frac{1}{4\pi} \left[\nabla\left(\int_V\mathbf{F}(\mathbf{r}')\cdot\nabla\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)+\nabla\times\left(\int_V\mathbf{F}(\mathbf{r}')\times\nabla\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\right] =_{\nabla\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| }= -\nabla'\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| }} \\ &=-\frac{1}{4\pi}\left[-\nabla\left(\int_V\mathbf{F}(\mathbf{r}')\cdot\nabla'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)-\nabla\times\left(\int_V\mathbf{F} (\mathbf{r}')\times\nabla'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\right] \end{align}}

כאשר הלפלסיאן בשורה השנייה הוא לפלסיאן סקלרי, ובשלישית הוא לפלסיאן וקטורי. כעת לפי הזהויות הווקטוריות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \mathbf{a}\cdot\nabla\psi &=-\psi(\nabla\cdot\mathbf{a})+\nabla\cdot (\psi\mathbf{a}) \\ \mathbf{a}\times\nabla\psi &=\psi(\nabla\times\mathbf{a})-\nabla \times (\psi\mathbf{a}) \end{align} }

נקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \mathbf{F}(\mathbf{r})=-\frac{1}{4\pi}\bigg[ &-\nabla\left(-\int_{V}\frac{\nabla'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'+\int_{V}\nabla'\cdot\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right) \\& -\nabla\times\left(\int_{V}\frac{\nabla'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' - \int_{V}\nabla'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\bigg] = \\ -\frac{1}{4\pi}\bigg[&-\nabla\left(-\int_{V}\frac{\nabla'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'+\oint_{S}\hat{n}'\cdot\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'\right) \\& -\nabla\times\left(\int_{V}\frac{\nabla'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' - \oint_{S}\hat{n}'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'\right)\bigg] \end{align}}

ולכן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{F}= -\nabla\phi + \nabla\times \mathbf{A}} . כאשר מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi(\mathbf{r})= \frac{1}{4\pi}\int_V \frac{\nabla'\cdot \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mathbf{V}' -\frac{1}{4\pi}\oint_S \hat{n}'\cdot \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mathbf{S}' }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})= \frac{1}{4\pi}\int_V \frac{\nabla'\times \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mathbf{V}' -\frac{1}{4\pi}\oint_S \hat{n}'\times \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mathbf{S}' }

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V=\R^3} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r}') } האינטגרלים המשטחיים מתאפסים.

במקרה דו-ממדי ניתן להחליף את פונקציית גרין התלת-ממדית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G= \left( -\frac{1}{4\pi}\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| }\right)} בפונקציית גרין הדו-ממדית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G=\frac{1}{2\pi}\ln(|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|)} ולקבל פיתוח דומה למקרה הדו-ממדי.

לקריאה נוספת

• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995) pp. 92–101
• Rutherford Aris, Vectors, tensors, and the basic equations of fluid mechanics, Prentice-Hall (1962), OCLC 299650765, pp. 70–72

קישורים חיצוניים

• משפט הפירוק של הלמהולץ, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט הפירוק של הלמהולץ32671925