פונקציית תועלת

פונקציית תועלת היא מושג יסודי במיקרו-כלכלה. הפונקציה מהווה דרך נוחה מתמטית לתיאור יחס ההעדפות של מקבל החלטות. כאשר מקבל החלטות מתלבט בין אפשרויות שונות, פונקציית התועלת נותנת לכל אפשרות ערך מספרי, כאשר הערך המספרי של אפשרות א' גבוה מהערך המספרי של אפשרות ב' אם מקבל ההחלטות מעדיף ממש את אפשרות א' על פני אפשרות ב'.

הגדרה

תהי O קבוצת אפשרויות ו- $\succsim$ יחס העדפות שלם וטרנזיטיבי על O. פונקציה $u:{O}\rightarrow \mathbb {R}$ נקראת פונקציית תועלת המייצגת את $\succsim$,

אם לכל ${x},{y}\in {O}$ מתקיים:

$${x}\succsim {y}\quad \iff \quad u({x})\geq u({y})$$

במילים אחרות, פונקציית תועלת ${u}$ היא פונקציה המתאימה לכל תוצאה ${x}$ מספר ממשי $u(x)$ באופן שלתוצאה עדיפה יותר מתאים מספר גדול יותר.

ייצוג יחס העדפות על ידי פונקציית תועלת

ניתן להוכיח כי כל יחס ההעדפות שמקיים שלמות, טרנזיטיביות, ורציפות ניתן לתיאור על ידי פונקציית תועלת. גם אם יחס ההעדפה איננו רציף הוא ניתן לתיאור על ידי פונקציית תועלת אם מספר האפשרויות הוא בן מניה..

במידה ומרחב האפשרויות הוא מרחב הגרלות (כלומר, מקבל ההחלטות פועל בתנאי סיכון, הרי שאם יחס ההעדפות מקיים את אקסיומות פון נוימן-מורגנשטרן ניתן לתאר אותו על ידי פונקציית תועלת מסוג "תוחלת תועלת".

אורדינליות של העדפות ופונקציות תועלת

מכיוון שיחס העדפה שלם וטרנזיטיבי הוא יחס סדר על קבוצת האפשרויות, הרי שהוא ניתן לתיאור על ידי מספר רב של פונקציות תועלת. ספציפית, אם פונקציית תועלת ${u}$ מייצגת את יחס ההעדפות $\succsim$, הרי שכל העתקה (טרנספורמציה) מונוטונית עולה של פונקציה זו מתארת את יחס ההעדפה גם כן.

דוגמה

נניח כי:

$O=\{a,b,c,d\}$

ויחס ההעדפות $\succsim$ ,נתון על ידי ${a}\succ {b}\approx {c}\succ {d}$

נשים לב שאמנם הגדרנו את היחס רק על חלק מזוגות התוצאות, אך בגלל השלמות והטרנזיטיביות נקבע היחס בין כל זוג תוצאות. למשל: ${a}\succ {c}$.

במקרה זה קיימות רצף של פונקציות תועלת המייצגות את היחס, שכן כל אשר ${u}$ צריכה לקיים הוא:

${\begin{aligned}u(a)>u(b)=u(c)>u(d)\\\end{aligned}}$

לדוגמה, הפונקציה ${u}$ המוגדרת על ידי: ${\begin{aligned}u(a)=22,u(b)=13,u(c)=13,u(d)=0\\\end{aligned}}$

מייצגת את $\succsim$ המוגדר לעיל.

שימו לב כי ניתן לבנות פונקציות תועלת נוספות אשר מייצגות יחס העדפה. למשל, הפונקציה $v=u^{2}$ מייצגת את יחס ההעדפה גם כן.

ראו גם

• מונחים בתורת המשחקים
• יחס העדפות

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946

הערות שוליים