פונקציה יוצרת-הסתברות
בתורת ההסתברות, פונקציה יוצרת-הסתברות של משתנה מקרי, היא ייצוג על ידי טור חזקות של פונקציית ההסתברות של המשתנה המקרי.
הגדרה מתמטית
יהי $ X $ משתנה מקרי המקבל ערכים שלמים אי-שליליים. אז עבור $ s\in (0,1) $, פונקציה יוצרת הסתברות של $ X $ היא$ {\displaystyle g_{X}(s):=\mathbb {E} [s^{X}]=\sum _{n=0}^{\infty }P(X=n)s^{n}} $
תכונות
נגזרת
עבור משתנה מקרי $ X $, מתקיים $ P(X=n)={\frac {g_{X}^{(n)}(0)}{n!}} $ועבור $ P(X=\infty )=P(\infty )=1-g_{x}(1^{-}) $
יחידות
עבור משתנה מקרי $ X $, הפונקציה $ g_{X}(s) $ קובעת את התפלגות $ X $ באופן יחיד
פונקציה יוצרת-הסתברות של סכום משתנים מקריים
עבור זוג משתנים מקריים בלתי תלויים, $ X,Y $ מתקיים שהפונקציה יוצרת-ההסתברות של הסכום שלהם היא $ g_{X+Y}(s)=g_{X}(s)g_{Y}(s) $
יהי $ N $ משתנה מקרי, ויהיו $ \{X_{i}\}_{i=1} $ סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים שווי התפלגות, ונסמן $ T=X_{1}+...+X_{N} $. אז הפונקציה יוצרת ההסתברות של $ T $ היא$ {\displaystyle g_{T}(s)=g_{N}(g_{X_{1}}(s))} $
דוגמאות
משתנה פואסוני
יהי משתנה מקרי $ X $ המתפלג פואסונית $ X\thicksim Poi(\lambda ) $, הפונקציה יוצרת ההסתברות שלו היא
$ g_{X}(s):=\sum _{n=0}^{\infty }P(X=n)s^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }}{n!}}\lambda ^{n}s^{n}=e^{-\lambda }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\lambda s)^{n}}{n!}}=e^{-\lambda }e^{\lambda s}=e^{\lambda (s-1)} $
משתנה גיאומטרי
יהי משתנה מקרי $ X $ המתפלג גיאומטרית $ X\thicksim G(p) $, הפונקציה יוצרת ההסתברות שלו היא
$ g_{X}(s):=\sum _{n=1}^{\infty }P(X=n)s^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }(1-p)^{n-1}ps^{n}=ps\sum _{n=0}^{\infty }(1-p)^{n}s^{n}=ps{\frac {1}{1-s(1-p)}} $
הערה:
יהי משתנה בינומי שלילי המתפלג $ Y\thicksim NB(r,p) $. ידוע לנו שכל משתנה בינומי שלילי הוא סכום של משתנים גיאומטריים בלתי תלויים ולכן מהנוסחה של סכום פונקציות יוצרות מתקיים $ g_{Y}(s)=(g_{X}(s))^{r} $.
לקריאה נוספת
- Johnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete distributions (2nd edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (Section 1.B9)
קישורים חיצוניים
הסבר כללי על פונקציה יוצרת הסתברות, מועבר על ידי מארק וויליס
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] פונקציה יוצרת-הסתברות24847028