פונקציה יוצרת-הסתברות

בתורת ההסתברות, פונקציה יוצרת-הסתברות של משתנה מקרי, היא ייצוג על ידי טור חזקות של פונקציית ההסתברות של המשתנה המקרי.

הגדרה מתמטית

יהי $X$ משתנה מקרי המקבל ערכים שלמים אי-שליליים. אז עבור $s\in (0,1)$, פונקציה יוצרת הסתברות של $X$ היא

$$g_{X}(s):=\mathbb {E} [s^{X}]=\sum _{n=0}^{\infty }P(X=n)s^{n}$$

תכונות

נגזרת

עבור משתנה מקרי $X$, מתקיים $P(X=n)={\frac {g_{X}^{(n)}(0)}{n!}}$ועבור $P(X=\infty )=P(\infty )=1-g_{x}(1^{-})$

יחידות

עבור משתנה מקרי $X$, הפונקציה $g_{X}(s)$ קובעת את התפלגות $X$ באופן יחיד

פונקציה יוצרת-הסתברות של סכום משתנים מקריים

עבור זוג משתנים מקריים בלתי תלויים, $X,Y$ מתקיים שהפונקציה יוצרת-ההסתברות של הסכום שלהם היא $g_{X+Y}(s)=g_{X}(s)g_{Y}(s)$

יהי $N$ משתנה מקרי, ויהיו $\{X_{i}\}_{i=1}$ סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים שווי התפלגות, ונסמן $T=X_{1}+...+X_{N}$. אז הפונקציה יוצרת ההסתברות של $T$ היא

$$g_{T}(s)=g_{N}(g_{X_{1}}(s))$$

דוגמאות

משתנה פואסוני

יהי משתנה מקרי $X$ המתפלג פואסונית $X\thicksim Poi(\lambda )$, הפונקציה יוצרת ההסתברות שלו היא

$g_{X}(s):=\sum _{n=0}^{\infty }P(X=n)s^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }}{n!}}\lambda ^{n}s^{n}=e^{-\lambda }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\lambda s)^{n}}{n!}}=e^{-\lambda }e^{\lambda s}=e^{\lambda (s-1)}$

משתנה גיאומטרי

יהי משתנה מקרי $X$ המתפלג גיאומטרית $X\thicksim G(p)$, הפונקציה יוצרת ההסתברות שלו היא

$g_{X}(s):=\sum _{n=1}^{\infty }P(X=n)s^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }(1-p)^{n-1}ps^{n}=ps\sum _{n=0}^{\infty }(1-p)^{n}s^{n}=ps{\frac {1}{1-s(1-p)}}$

הערה:

יהי משתנה בינומי שלילי המתפלג $Y\thicksim NB(r,p)$. ידוע לנו שכל משתנה בינומי שלילי הוא סכום של משתנים גיאומטריים בלתי תלויים ולכן מהנוסחה של סכום פונקציות יוצרות מתקיים $g_{Y}(s)=(g_{X}(s))^{r}$.

לקריאה נוספת

• Johnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete distributions (2nd edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (Section 1.B9)

קישורים חיצוניים

• הסבר כללי על פונקציה יוצרת הסתברות, מועבר על ידי מארק וויליס

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציה יוצרת-הסתברות24847028