עקרון הסימטריה

בתורת המשחקים במשחק מיקוח ישנם מספר עקרונות מנחים לפתרון המשחק אשר הוצגו על ידי ג'ון נאש. נאש הוכיח כי קיים פתרון יחיד המקיים את עקרון הסימטריה, עקרון היעילות, עקרון הקווריאנטיות תחת טרנספורמציות אפיניות ועקרון האי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות. גם בפתרון קלעי סמורודינסקי למשחק מיקוח מופיע עקרון הסימטריה בנוסף לעקרון היעילות, עקרון האי-תלות ביחידות מדידה ועקרון המונוטוניות המוגבלת.
עקרון הסמטריה דורש שאסור לבורר להעדיף שחקן אחד על פני השני, כלומר אם משחק מיקוח סימטרי, ההסכם שמציע הבורר ישקף זאת.
במשחק מיקוח בו יש יותר משני שחקנים קיים עקרון האנונימיות האומר שכאשר משנים את שמות השחקנים הפתרון המוצע על ידי בורר משתנה בהתאם לשינוי השמות. פתרון המקיים את עקרון האנונימיות מקיים גם את עקרון הסימטריה. כלומר, הפתרון אינו מפלה שחקן בגלל שמו.
בתורת המשחקים במשחקים בצורה קואליציונית קיים ערך שפלי הנותן פתרון למשחק שיתופי בו ישנם כמה שחקנים, שיכולים להתאגד בקבוצות כדי לצבור רווח. כללי המשחק קובעים כמה תקבל כל קבוצה, והבעיה היא למצוא חלוקה הוגנת של הזכייה בין כל השותפים, שתתחשב בכח המיקוח של כל שותף ושותף. לפי שפלי קיים מושג פתרון אחד ויחיד המקיים את עקרונות היעילות, החיבוריות, שחקן האפס ועקרון הסמטריה.

ניסוח פורמלי לעקרון הסימטריה במשחקי מיקוח

משחק מיקוח $(S,d)$ הוא סימטרי אם הוא מקיים את התנאים הבאים:

• נקודת אי ההסכמה היא סימטרית ($d_{1}=d_{2}$).
• אם $(x_{1},x_{2})\in S$ אזי גם $(x_{2},x_{1})\in S$.
  

פתרון $\phi$ מקיים את עקרון הסימטריה אם הפתרון של כל משחק מיקוח סימטרי (S,d) הוא גם סימטרי (($\phi _{1}(S,d)=\phi _{2}(S.d)$). כלומר, פתרון כזה מקצה לכל שחקן תועלת זהה במשחק מיקוח סימטרי.
הפירוש הגאומטרי הוא ש S סימטרית ביחס לאלכסון הראשי ועל אלכסון זה נמצאת גם נקודת האי-הסכמה. במשחקי מיקוח סימטריים לא ניתן להבדיל בין שני השחקנים, פרט לבחירה שרירותית של הצירים עבור השחקנים.

ניסוח פורמלי לעקרון הסימטריה במשחקים בצורה קואליציונית

שני שחקנים שונים $i,j\in N$ הם שחקנים סימטריים במשחק בצורה קואליציונית $\left(N;v\right)$

אם לכל קואליציה S שאינה מכילה את שניהם, $\forall S\subseteq N\setminus \left\{i,j\right\}$, מתקיים:

$v(S\cup \left\{i\right\})=v(S\cup \left\{j\right\})$

כלומר, לכל קואליציה S שנבחר כך שהיא אינה מכילה את i ו-j, השווי שלה יהיה זהה אם נצרף אליה את השחקן i או אם נצרף אליה את השחקן j.

פתרון $\varphi$ מקיים את עקרון הסימטריה אם לכל משחק $\left(N;v\right)$ ולכל זוג שחקנים סימטריים i ו-j במשחק

מתקיים: $\varphi _{i}\left(N;v\right)=\varphi _{j}\left(N;v\right)$

זהו, למעשה, עיקרון של אי-אפליה שלפיו שני שחקנים שקולים, בעלי אותו מעמד, יקבלו אותו הסכום.

כלומר, כאשר לשני שחקנים תרומות שוות לכל הקואליציות, הפתרון לא יהיה תלוי בשמותיהם.

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946