סיכון שולט

סיכון שולט ותמורה שולטת הן שתי גרסאות של עקרון הפתרון של שיווי משקל נאש בתורת המשחקים, שהוגדרו על ידי ג'ון הרסני וריינהרד סלטן. שיווי משקל נאש נחשב תמורה שולטת אם הוא יעיל פארטו עבור כל שיוויי משקל נאש האחרים במשחק. כאשר ניצבים מול בחירה בין כמה שיוויי משקל, כל השחקנים יסכימו על שיווי משקל של תמורה שולטת היות שהתמורה שמתקבלת היא לפחות כגודל התמורה הטובה ביותר שכל שחקן יכול לקבל.
באופן דומה, שיווי משקל נאש נחשב סיכון שולט אם ככל שלשחקנים חוסר וודאות לגבי פעולות של השחקנים האחרים, יותר סביר שהם יבחרו את האסטרטגיה המתאימה לשיווי משקל נאש.
מטריצת התמורה, בטבלה 1, מראה דוגמה של משחק בעל שני שחקנים-שני אסטרטגיות פשוט עם שני שיוויי משקל טהורים. האסטרטגיה (ציד, ציד) היא תמורה שולטת היות שהתמורות הן גבוהות יותר עבור שני השחקנים בהשוואה לשיווי משקל נאש השני (ליקוט, ליקוט).
מצד שני, (ליקוט, ליקוט) זהו סיכון שולט על (ציד, ציד) כיוון שאם קיים חוסר ודאות לגבי פעולות השחקנים האחרים, ליקוט צפוי לספק תמורה גבוהה יותר. המשחק בטבלה 1 הוא משחק תאורטי ידוע שנקרא ציד האייל. ההגיון מאחורי המשחק הוא ששיתוף פעולה (ציד) עם השחקנים האחרים מובילה לתמורה גבוהה יותר, אם כל השחקנים תורמים מכישוריהם. אבל אם לא ידוע על יכולתו של השחקן האחר לתרום לציד, ליקוט יכול להתברר כאסטרטגיה טובה יותר עבור היחיד- אספקה גדולה יותר של אוכל, כיוון שהוא לא תלוי בתיאום אסטרטגיות עם השחקנים האחרים. בנוסף, ליקוט לבד עדיף על ליקוט בקבוצה שכן התחרות על המשאבים פוגעת בתמורה. בדומה לדילמת האסיר, משחק זה מספק הסבר מדוע שיתוף פעולה עלול להכשל בהיעדר התחייבויות אמינות.

	ציד	ליקוט
ציד	5,5	0,4
ליקוט	4,0	2,2

טבלה 1: משחק ציד האייל

	H	G
H	A,a	C,b
G	B,c	D,d

טבלה 2: משחק התאמה כללי

הגדרה רשמית

המשחק המתואר בטבלה 2 הוא משחק מתואם אם אי-שוויונות התמורה הבאים מתקיימים עבור שחקן 1 (השורות): A>B, D>C ועבור שחקן 2 (העמודות): a>b, d>c. האסטרטגיה (H,H) והאסטרטגיה (G,G) הן האסטרטגיות היחידות שהן שיווי משקל נאש טהור.
בנוסף, ישנו שיווי משקל נאש מעורב כאשר שחקן 1 משחק H עם הסתברות $p=(d-c)/(a-b-c+d)$ ו-G עם הסתברות $1-p$. שחקן 2 משחק H עם הסתברות $q=(D-C)/(A-B-C+D)$ ו-G עם הסתברות $1-q$.
אסטרטגיה (H,H) היא תמורה שולטת על (G,G) אם לפחות אחד מהשניים הוא אי שוויון חזק: A>D או a>d. אסטרטגיה (G,G) היא סיכון שולט על (H,H) אם המכפלה של הפרשי ההפסדים הוא הגבוה ביותר עבור (G,G) (הרזני וסלטן, 1988, למה 5.4.4).במילים אחרות, אם אי השוויון הבא מתקיים:$(C-D)(c-d)\geq (B-A)(b-a)$.
אם אי השוויון הוא חזק, אז (G,G) הוא סיכון שולט חזק על (H,H). (משמע, לשחקנים יש יותר מניעים לסטות). אם המשחק סימטרי, כלומר אם A=a, B=b, וכדומה, אי השוויון מאפשר פירוש פשוט יותר: נניח שהשחקנים לא בטוחים לגבי איזה אסטרטגיה המתחרה יבחר, ומתאימים הסתברויות לכל אסטרטגיה. אם כל שחקן מתאים הסתברויות ½ לכל H ולכל G, אז (G,G) סיכון שולט על (H,H) אם התמורה הצפויה מלשחק G גדולה מהתמורה הצפויה מלשחק H:
${\frac {1}{2}}B+{\frac {1}{2}}D\geq {\frac {1}{2}}A+{\frac {1}{2}}C$ או פשוט $B+D\geq A+C$
דרך נוספת לחישב את שיווי משקל הסיכון השולט היא לחשב את גורם הסיכון לכל שיוויי משקל ולמצוא את השיווי משקל עם גורם סיכון הקטן ביותר. על מנת לחשב את גורם הסיכון במשחק 2X2 שלנו, נתבונן בתמורה הצפויה לשחקן המשחק H:
$E[\pi H]=pA+(1-p)C$ (כאשר P הוא ההסתברות שהשחקן השני ישחק H),
ונשווה אותה לתמורה הצפויה אם ישחק G:
$E[\pi G]=pB+(1-p)D$
הערך של p אשר גורם לשני ערכים אלה להיות שווים, הוא גורם הסיכון עבור שיווי המשקל (H,H) עם $1-p$ גורם הסיכון כאשר משחקים (G,G). ניתן גם לחשב את גורם הסיכון כאשר משחקים (G,G) על ידי אותו חישוב, אבל להגדיר את p כהסתברות שהשחקן השני ישחק G. פירוש אפשרי ל-P הוא ההסתברות הקטנה ביותר שהיריב ישחק אסטרטגיה שהתמורה בה היא גדולה מאשר שהיה משחק את האסטרטגיה השנייה.