קדימות אופרטורים

כללי קדימות אופרטורים הם הכללים הקובעים באיזה סדר יש לבצע את הפעולות בביטוי שבו מופיעים אופרטורים (פעולות) מסוגים אחדים. כדי שיהיה שימושי, סימון מתמטי חייב להיות חד משמעי ולכן יש צורך בדרך כתיבה או במערכת כללים שתאפשר פירוש חד משמעי לביטוי חוקי נתון. כללי הקדימות הם הדרך שהפכה לרווחת ומקובלת כיום בשל הנוחות היחסית בכתיבתה וקריאתה.

כל אחת מארבע פעולות החשבון, למשל, פועלת על שני מספרים, אך ניתן לכתוב ביטויים הכוללים מספרים רבים ופעולות רבות, ובמקרה זה נחוצים כללים לקביעת סדר ביצוע הפעולות. דוגמה: האם בביטוי $3+4\times 5$ יש לבצע תחילה את פעולת החיבור או את פעולת הכפל? הכלל הפשוט ביותר לניסוח הוא ביצוע הפעולות לפי סדר הופעתן (בדוגמה שלפנינו: תחילה יבוצע החיבור, ותוצאתו תוכפל ב-5). כלל זה אכן מופעל במחשבונים פשוטים. בסימון מתמטי נקבעו כללים מורכבים יותר, של קדימות אופרטורים.

ארבע פעולות החשבון

עוד מראשית ימיו של הסימון המתמטי, נקבע הכלל שפעולות כפל וחילוק קודמות לפעולות חיבור וחיסור^{[דרוש מקור]}. כדי לבצע את הפעולות בסדר שונה מהאמור בכלל זה יש להשתמש בסוגריים. לאחר הפעלת שני כללים אלה, הפעולות מתבצעות משמאל לימין.

דוגמאות:

• את הביטוי $3+4\times 5$ יש לחשב: תחילה $4\times 5=20$ ולתוצאה להוסיף 3, כך שערכו של הביטוי הוא 23.
• את הביטוי $(3+4)\times 5$ יש לחשב: תחילה $\ 3+4=7$ ואת התוצאה יש להכפיל ב-5, כך שערכו של הביטוי הוא 35.
• בביטוי $8:2\times 3=[8:2]\times 3=[4\times 3]=12\,$ יש חשיבות רבה לסדר הפעולות (משמאל לימין), משום שביצוע פעולת הכפל לפני פעולת החילוק ייתן תוצאה שונה.

בצורת הכתיב המקובלת נכתבת הפעולה, ומשני צדיה המספרים שעליהם היא פועלת. כתיב שאינו מקובל בחיי היומיום הוא הכתיב הפולני, שבו נכתבת הפעולה ואחריה שני המספרים שעליהם היא פועלת. יתרונו של הכתיב הפולני בכך שאין צורך בו בכללי קדימות אופרטורים, ואין צורך בסוגריים.

חזקה ושורש

כאשר בביטוי מופיעות גם פעולות של העלאה בחזקה והוצאת שורש, פעולות אלה קודמות לארבע פעולות החשבון, אך כאשר ישנו ביטוי כלשהו מתחת לסימן השורש, יש לחשב תחילה ביטוי זה, ומהתוצאה להוציא שורש. כך גם ביחס לביטוי המופיע כחלק מהחזקה (כלומר באותיות עיליות) - תחילה יש לחשב את ערכו של הביטוי, והתוצאה היא החזקה.

דוגמה:

$2^{3^{2}}=2^{[3^{2}]}=[2^{9}]=512\,$

דוגמה משולבת:

• בביטוי:

$3-(5-(7+1))^{2}\times (-5)+3\,$

• יש לחשב תחילה את הביטוי שבסוגריים הפנימיים $(7+1)\,$ ולקבל:

$3-(5-8)^{2}\times (-5)+3\,$

• לאחר מכן לחשב את הביטוי שבסוגריים החיצוניים $(5-8)\,$ ולקבל:

$3-(-3)^{2}\times (-5)+3\,$

• לחשב את החזקה $(-3)^{2}\,$ ולקבל:

$3-9\times (-5)+3\,$

• לחשב את המכפלה $9\times (-5)\,$ ולקבל:

$3-(-45)+3\,$

• לחשב את ההפרש $3-(-45)\,$ ולקבל:

$48+3\,$

• לחשב את הסכום $48+3\,$ ולקבל:

$48+3=51\,$

מחשבונים

מחשבונים פשוטים פועלים ללא קדימות אופרטורים, כלומר הם מבצעים את הפעולות לפי סדר הקלדתן למחשבון. התוצאה של הקלדת $3+4\times 5$ תהיה 35. במחשבונים מדעיים נשמרים כללי קדימות אופרטורים, והתוצאה של הקלדת $3+4\times 5$ תהיה 23. למחשבון במערכת ההפעלה "חלונות" יש שני מצבי הפעלה - "רגיל" ו"מדעי", המחקים את שני סוגי המחשבונים הפיזיים.

קיימת מחלוקת לגבי ההתייחסות לכפל שהושמט לפני סוגריים, כאשר בעיקר בצפון אמריקה לכפל שהושמט אין משמעות מבחינת סדר פעולות חשבון, וביתר העולם כפל שהושמט מבוצע לפני פעולות כפל וחילוק אחרים. כך למשל, לגבי $\ 6:2(1+2)$, בצפון אמריקה ובמדינות שבהן שיטה זו נהוגה, מבוצע תחילה הפעולה שבסוגריים, ולאחר מכן משמאל לימין - החילוק ולבסוף הכפל שהושמט, והתוצאה היא 9. ביתר העולם מבוצע תחילה הפעולה שבסוגריים, ולאחר מכן הכפל שהושמט ולבסוף החילוק, והתוצאה היא 1. מחשבוני Casio שיוצרו בין השנים 2005 ו-2008 מבצעים חישוב לפי שיטת צפון אמריקה, בעוד מחשבונים שיוצרו קודם לכן וחלק מהמחשבונים שיוצרו לאחר מכן מכפילים כפל שהושמט תחילה.

שפות תכנות

ביטויים הנכתבים בשפות תכנות מחושבים במרבית השפות לפי הכללים המקובלים לקדימות אופרטורים, ויש בהן כללי קדימות גם לאופרטורים נוספים, כגון "וגם".

ראו גם

• כתיב פולני