סדרת פרי

הצגה של סדרת פרי עד $ F_{9} $

במתמטיקה, סדרת פרי (farey) מסדר $ n $ היא סדרה של שברים בין 0 ו-1, שבצורתו כשבר לא מדומה המכנה שלו הוא קטן או שווה ל-$ n $ , כאשר בכל סדרה האיבר הראשון הוא 0, האחרון הוא 1, האיבר האמצעי הוא $ {\tfrac {1}{2}} $ (לכל $ n>1 $) והסדרה נבנית לפי סדר עולה. ניתן לראות כי כל סדרת פרי מסדר $ n $ מכילה את כל הסדרות פרי מסדר הקטן מ-$ n $ . הסדרה מסדר $ n $ מסומנת על ידי $ F_{n} $ (ללא קשר לסדרת פיבונאצ'י)

הסדרת פרי עד סדר 7
F1 = {0/1, 1/1} F2 = {0/1, 1/2, 1/1} F3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1} F4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1} F5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1} F6 = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1} F7 = {0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1}

מאפיינים

ניתן לראות כי אפשר לקשר בין כמות האיברים בין סדרות עולות על ידי פונקציית אוילר בצורה רקורסיבית (כאשר $ |F_{1}|=2 $):

$ |F_{n}|=|F_{n-1}|+\varphi (n) $

או ללא התייחסות לפונקציית אוילר:

$ {\begin{aligned}|F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)\\|F_{n}|={\frac {1}{2}}\left(3+\sum _{d=1}^{n}\mu (d)\left\lfloor {\frac {n}{d}}\right\rfloor ^{2}\right)\end{aligned}} $

ועל ידי שימוש בנוסחת ההיפוך של מביוס נקבל:

$ |F_{n}|={\frac {n(n+3)}{2}}-\sum _{d=2}^{n}\left|F_{\left\lfloor {\frac {n}{d}}\right\rfloor }\right| $

מבחינה אסימפטוטית, ניתן לראות כי:

$ |F_{n}|\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}} $

קשר להשערת רימן

אם נסמן את איברי הסדרה $ F_{n}=\{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\} $ , ונגדיר $ d_{k,n}=a_{k,n}-{\frac {k}{m_{n}}} $ . בשנת 1924 הוכיח ג'רומה פראנל (Jérôme Franel) כי הטענה הבאה:

$ \sum _{k=1}^{m_{n}}d_{k,n}^{2}=O(n^{r})\quad \forall r>-1 $

שקולה להשערת רימן, ובאותה שנה הוכיח אדמונד לנדאו כי הטענה:

$ \sum _{k=1}^{m_{n}}|d_{k,n}|=O(n^{r})\quad \forall r>{\tfrac {1}{2}} $

גם היא שקולה להשערת רימן.