סדרת פרי

הצגה של סדרת פרי עד $F_{9}$

במתמטיקה, סדרת פרי (farey) מסדר $n$ היא סדרה של שברים בין 0 ו-1, שבצורתו כשבר לא מדומה המכנה שלו הוא קטן או שווה ל-$n$ , כאשר בכל סדרה האיבר הראשון הוא 0, האחרון הוא 1, האיבר האמצעי הוא ${\tfrac {1}{2}}$ (לכל $n>1$) והסדרה נבנית לפי סדר עולה. ניתן לראות כי כל סדרת פרי מסדר $n$ מכילה את כל הסדרות פרי מסדר הקטן מ-$n$ . הסדרה מסדר $n$ מסומנת על ידי $F_{n}$ (ללא קשר לסדרת פיבונאצ'י)

הסדרת פרי עד סדר 7
F1 = {0/1, 1/1} F2 = {0/1, 1/2, 1/1} F3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1} F4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1} F5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1} F6 = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1} F7 = {0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1}

מאפיינים

ניתן לראות כי אפשר לקשר בין כמות האיברים בין סדרות עולות על ידי פונקציית אוילר בצורה רקורסיבית (כאשר $|F_{1}|=2$):

$|F_{n}|=|F_{n-1}|+\varphi (n)$

או ללא התייחסות לפונקציית אוילר:

${\begin{aligned}|F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)\\|F_{n}|={\frac {1}{2}}\left(3+\sum _{d=1}^{n}\mu (d)\left\lfloor {\frac {n}{d}}\right\rfloor ^{2}\right)\end{aligned}}$

ועל ידי שימוש בנוסחת ההיפוך של מביוס נקבל:

$|F_{n}|={\frac {n(n+3)}{2}}-\sum _{d=2}^{n}\left|F_{\left\lfloor {\frac {n}{d}}\right\rfloor }\right|$

מבחינה אסימפטוטית, ניתן לראות כי:

$|F_{n}|\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}$

קשר להשערת רימן

אם נסמן את איברי הסדרה $F_{n}=\{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}$ , ונגדיר $d_{k,n}=a_{k,n}-{\frac {k}{m_{n}}}$ . בשנת 1924 הוכיח ג'רומה פראנל (Jérôme Franel) כי הטענה הבאה:

$\sum _{k=1}^{m_{n}}d_{k,n}^{2}=O(n^{r})\quad \forall r>-1$

שקולה להשערת רימן, ובאותה שנה הוכיח אדמונד לנדאו כי הטענה:

$\sum _{k=1}^{m_{n}}|d_{k,n}|=O(n^{r})\quad \forall r>{\tfrac {1}{2}}$

גם היא שקולה להשערת רימן.