ניתוב אנוכי

בחקר ביצועים, ניתוב אנוכי הוא אופן ניתוב שבו מזרימים כל יחידה בגרף בדרך היעילה ביותר עבורה, בלי להתחשב בהשלכות שיש לכך על יחידות זורמות אחרות. ניתוב אנוכי גורר רמת ביצועים ממוצעת קטנה או שווה לביצועים בניתוב מתוכנן.

אינטואיציה

בעת בחירת נתיב נסיעה אחד השיקולים המרכזיים הוא רמת העומס בנתיבים השונים. הנטייה הטבעית היא לבחור את הנתיב הפחות עמוס ללא התייחסות להשפעת הבחירה על העומס שיכול להיווצר. בחירה כזו נקראת אנוכית שכן כל אחד מהפרטים במערכת בוחר את הנתיב על פי רווח אישי וללא שיקולים מערכתיים. תכנון מערכתי של הנתיבים בהם כל אחד יסע הייתה מקטינה את זמן הנסיעה הכולל של הנוסעים.

באופן אינטואיטיבי הוספת נתיב נסיעה משפרת את הביצועים הממוצעים. פרדוקס ברס קובע כי כאשר התנועה של הפרטים במערכת נעשית בניתוב אנוכי, הוספת נתיב יכולה דווקא לפגוע ברמת הביצועים הממוצעת.

הגדרה פורמלית של המודל

יהי $\,G=<V,E>$ גרף מכוון עם זוגות מקור ויעד $\,(s_{i},t_{i})$. נסמן ב $\,P_{i}$ את קבוצת המסלולים מ-$\,s_{i}$ ל-$\,t_{i}$, וב-$\,P=\bigcup P_{i}$
את קבוצת כל המסלולים בגרף. תהי הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \,f:V\times V\rightarrow \mathbb {R} } פונקציית הזרימה.

עבור f זרימה נתונה נסמן $\,f_{P}=\sum _{P:e\in P}{f_{e}}$.

נסמן ב $r_{i}$ את כמות הזרימה במסלול מ-$\,s_{i}$ ל-$\,t_{i}$.

זרימה f הינה פיזבילית אם לכל i מתקים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{P\in P_{i}}{f(p)}=r_{i}}

ולבסוף לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e\in E} נתונה פונקציית עלות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,l_{e}()} ונניח שהיא איננה שלילית, דיפרנציאבילית ולא יורדת.

f מוגדרת כסכום העלויות של צלעות המסלול ונסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,l_{p}(f)= \sum_{e \in P}{l_{e}(f_{e})}}

נגדיר עלות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C(f)} של זרימה f בגרף G כסך העלויות ב f כלומר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C(f)= \sum_{p \in P}{l_{P}(f)f_{P}}}

על ידי סכימה על צלעות במסלול P נוכל גם לכתוב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C(f)= \sum_{e \in E}{l_{e}(f_{e})f_{e}}} .

מחיר האנרכיה

נרצה לדבר על מחיר האנרכיה במשחק מסוג זה ולהבין מה החסמים על חוסר ההיתחשבות מסוג זה.
נבחן מקרה ספציפי בו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_{e}(x)=x} כאשר יחידת התעבורה הינה אטומית כלומר לא ניתנת לחלוקה וננסה לחסות את מחיר האנרכיה עבור מקרה זה. יהי s שיויי משקל נאש נתון ו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{i}} מסלול של שחקן i בS נגדיר $s^{*}$ להיות פטרון אופטימלי לשם כך נגדיר פונקציית מטרה במקרה זה טבעיה להגדיר את הפונקציה כסכום כלל העלוית ועל כן נרצה להביא למינימום את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i}{ \sum_{e \in P_{i}}{C_{e}(x)r_{i}}}}
בהסתמך על העובדה שs הוא שיויי משקל נאש ומניפולציה אלגברית מתקבל חסם והוא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle PoA \leq \frac{3+ \sqrt(5)}{2}}
מה שמעניין כאן היא העובדה שהחסם כלל אינו תלויי במספר השחקנים ויתר אל כן הוא מספר קבועה. על מנת להראות שהחסם הדוק מספיק להביא דוגה למשחק בו PoA הוא בדיוק כנ"ל.

ביבליוגרפיה

Algorithmic Game Theory, Edited by Noam Nisan, Tim Roughgarden, Eva Tardos, Vijay V. Vazirani, Cambridge University Press

Selfish Routing and the Price of Anarchy - Tim Roughgarden

קישורים חיצוניים

• "Selfish Routing and the Price of Anarchy".
• "How Bad is Selfish Routing?" (PDF).