איבר נילפוטנטי

באלגברה מופשטת, איבר $x$ של חוג $R$ הוא נילפוטנטי, אם יש לו חזקה שהיא אפס, כלומר, אם $x^{m}=0$ עבור $m$ גדול מספיק. המספר הטבעי הקטן ביותר בעל תכונה זו נקרא דרגת הנילפוטנטיות (ולעיתים גם אינדקס הנילפוטנטיות) של $x$ .

חוג (בלי יחידה) שכל אבריו נילפוטנטיים נקרא חוג נילפוטנטי. כל אלגברה נילפוטנטית מממד סופי ניתנת לשיכון באלגברת המטריצות המשולשיות מעל השדה.

דוגמאות

בחוג $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ של השאריות מודולו 4, האיבר 2 נילפוטנטי (מדרגה 2) כי $2^{2}=4\equiv 0{\pmod {4}}$ .
המטריצה הריבועית $A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$ היא מטריצה נילפוטנטית (מדרגה 3), כי מתקיים $A^{3}=0$ .
בכל חוג (גם אם אינו קומוטטיבי), אם $ab$ נילפוטנטי, אז גם $ba$ כזה, משום ש- $(ba)^{n+1}=b(ab)^{n}a$ . לדוגמה, אם $a=e_{12}+e_{22}$ ו- $b=e_{12}$ , כאשר $e_{ij}$ הן מטריצות בסיסיות (זו המטריצה בה בכניסה ה- $i,j$ יש $1$ וביתר הכניסות יש $0$ ), אז $\ ab=0$ ו- $\ ba=b$ נילפוטנטי מדרגה 2.

אם $x$ נילפוטנטי מדרגה $n$ , אז $1-x$ איבר הפיך, ומתקיים $(1-x)^{-1}=1+x+x^{2}+x^{3}+\dots +x^{n-1}$ . באופן דומה גם $1+x$ הפיך.

בחוג קומוטטיבי, הסכום של כל איבר הפיך ואיבר נילפוטנטי הוא הפיך: אם $x$ הפיך ו- $y$ נילפוטנטי, אז $x+y=x(1+x^{-1}y)$ , ומכיוון ש- $y$ נילפוטנטי נקבל שגם $x^{-1}y$ נילפוטנטי ומהאמור לעיל $1+x^{-1}y$ הפיך, ואז $x+y$ הפיך כמכפלת הפיכים.