נוסחת לייבניץ ל-π

במתמטיקה, נוסחת לייבניץ ל-π,ידוע גם כנוסחת לייבניץ גרגורי על שם גוטפריד וילהלם לייבניץ וג'יימס גרגורי, היא הנוסחה:

1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {\pi }{4}}.\!

או ברישום מקוצר:

\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;=\;{\frac {\pi }{4}}.\!

הוכחה

ניתן להוכיח טענה זו בקלות על ידי טור טיילור של פונקציה הופכית של טנגנס (נקראת טור גרגורי) שאומרת:

\int _{0}^{x}\,{\frac {du}{1+u^{2}}}=\arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots

ולהציב x = 1 ונקבל בקלות את הנוסחה. הנה הוכחה נוספת:

{\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan(1)\;=\;\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\[8pt]&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}+(-1)^{n+1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx.\end{aligned}}

ניתן להבין מהשורה האחרונה כי:

0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\;<\;\int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx\;=\;{\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow \;0{\text{ as }}n\rightarrow \infty .\!

מכאן עבור n שואף לאינסוף, ניתן לראות כי: ${\frac {\pi }{4}}\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}.$

35259332נוסחת לייבניץ ל-π