תמונתו של גוטפריד וילהלם לייבניץ
במתמטיקה, נוסחת לייבניץ ל-π,ידוע גם כנוסחת לייבניץ גרגורי על שם גוטפריד וילהלם לייבניץ וג'יימס גרגורי, היא הנוסחה:

או ברישום מקוצר:

הוכחה
ניתן להוכיח טענה זו בקלות על ידי טור טיילור של פונקציה הופכית של טנגנס (נקראת טור גרגורי) שאומרת:

ולהציב x = 1 ונקבל בקלות את הנוסחה.
הנה הוכחה נוספת:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan(1)\;=\;\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\[8pt]&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}+(-1)^{n+1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3681b1f24177f26c482fb3e64b26dbc672e906bd)
ניתן להבין מהשורה האחרונה כי:

מכאן עבור n שואף לאינסוף, ניתן לראות כי:
קישורים חיצוניים
נוסחת לייבניץ ל-π35259332Q97226587