נוסחת ד'אלמבר

בתורת הגלים, נוסחת ד'אלמבר היא הפתרון הכללי למשוואת הגלים החד-ממדית, $\psi _{tt}(x,t)=c^{2}\psi _{xx}(x,t)$, כאשר פונקציית הגל $\psi (x,t)$ היא פונקציה של המקום והזמן. הפתרון תלוי ונקבע באופן יחידי בהינתן תנאי ההתחלה של המערכת ברגע $t=0$: פונקציית הגל $\psi (x,0)$ ברגע זה ונגזרתה לפי הזמן ברגע זה, $\psi _{t}(x,0)$. עבור מרבית הגלים המכניים, העובדה שתנאי ההתחלה האלה מספיקים כדי לקבוע את צורת הגל בכל רגע תואמת את התפיסה הדטרמיניסטית של המכניקה הקלאסית, לפיה בהינתן מהירותו ומיקומו של כל חלקיק ברגע מסוים ניתן לחשב את מיקומו של כל חלקיק בעתיד. למשל, עבור גלים במיתר, בהינתן מיקומו ומהירותו הרוחבית של כל מקטע במיתר, ניתן יהיה לחזות את צורתו בכל רגע בעתיד.

פתרון ד'אלמבר מנוסח בצורה הבאה:

$$\psi (x,t)={\frac {1}{2}}\left[\psi (x-ct,0)+\psi (x+ct,0)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}\psi _{t}(\xi ,0)\,d\xi .$$

הוא נקרא על שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אן לה רון ד'אלמבר, אשר גזר אותו ב-1747 כפתרון כללי לבעיית המיתר התונד.

פרטים מתמטיים

הקרקטריסטיקות של משוואת הגלים הם $x\pm ct=\mathrm {const}$, כך שניתן לבצע החלפת משתנים $\mu =x+ct$ (בעבור הפתרון החיובי) ו-$\eta =x-ct$ (בעבור הפתרון השלילי) כדי להמיר את משוואת הגלים במשוואה $\psi _{\mu \eta }=0$. הפתרון הכללי למשוואת הגלים יהיה לפיכך מהצורה $\psi (\mu ,\eta )=F(\mu )+G(\eta )$ כאשר $F$ ו-$G$ הן פונקציות רציפות וגזירות ברציפות. מבחינה פיזיקלית, שתי הפונקציות הללו מתארות גלים נוסעים המתקדמים במהירות $c$, כאשר $F$ היא פונקציית הגל הנוסע שמאלה ו-$G$ פונקציית הגל הנוסע ימינה (הכיוון החיובי של ציר x מוגדר להיות ימינה). מכיוון שמשוואת הגלים היא משוואה דיפרנציאלית ליניארית, הפתרון הכללי הוא סופרפוזיציה (צירוף ליניארי) של שתיהן.

כעת נתייחס לתנאי ההתחלה, שהוא כל מה שידוע למעשה על פונקציית הגל בזמן $t=0$.

נניח ש-: $\psi (x,0)=g(x),\psi _{t}(x,0)=h(x)$.

אז מכך ש- $\psi (x,0)=g(x)$ נקבל $F(x)+G(x)=g(x)$.

ומכך ש-$\psi _{t}(x,0)=h(x)$ נקבל $cF'(x)-cG'(x)=h(x)$.

כעת ניתן לבצע אינטגרציה על המשוואה האחרונה ולקבל

$$cF(x)-cG(x)=\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}.$$

קיבלנו איפה שתי משוואות ליניאריות ב-$F$ ו-$G$, אותן ניתן לפתור ולקבל:

$$F(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)-\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}\right)\right)$$

$$G(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)+\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )d\xi +c_{1}\right)\right).$$

כעת, אם נעשה שימוש בעובדה ש-

$$\psi (x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)$$

אז נוסחת ד'לאמבר תקבל את הצורה:

$$\psi (x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )\,d\xi .$$

פרשנות ואינטואיציה פיזיקלית

לנוסחת ד'אלמבר ניתן לפתח המשגה פיזיקלית, המבוססת על תמונת האינטראקציה בין אלמנטים אינפיניטסימליים של התווך הנושא את הגל. נתייחס לדוגמת המיתר התונד, ולהתנהגות של מקטע שרירותי עליו. את הביטוי שבסוגריים ניתן לפרש כממוצע החשבוני של מעתקי מקטעי המיתר המרוחקים ממנו מרחק $ct$, מימינו ומשמאלו. את האינטגרל שבנוסחה ניתן לפרש, אף על פי שהוא נסכם במשתנה המקום x, כמעין אינטגרל לפי הזמן על מהירות רוחבית השווה לממוצע החשבוני של מהירויות מקטעי המיתר המרוחקים ממנו מרחק $ct$, מימינו ומשמאלו, כאשר דיפרנציאל הזמן הוא $\delta t={\frac {\delta x}{c}}$.

לאור זאת, ניתן להבין את נוסחת ד'אלמבר מתוך התבוננות בשני מקרים פרטיים: כאשר פונקציית הגל מתאפסת זהותית (כלומר כאשר המיתר אופקי לגמרי ברגע ההתחלתי), וכאשר הנגזרת לפי הזמן שלה מתאפסת זהותית (כלומר כאשר נתונה הפרעה התחלתית בצורת המיתר, אך כל המהירויות הרוחביות מתאפסות). נתייחס תחילה למקרה השני, ונניח הפרעה מלבנית התחלתית בצורת המיתר, שגובהה $A$. במקרה זה, טיעון המבוסס על פעולת היפוך זמן מראה שכעבור זמן מספיק, ההפרעה תתפצל לשתי הפרעות מלבניות הנעות בכיוונים מנוגדים, עם משרעת השווה למחצית המשרעת המקורית ורוחב השווה לרוחב המלבן המקורי. עבור צורת גל כללית, ניתן לדמיין כל מקטע של המיתר כהפרעה מלבנית אינפיניטסימלית, כך שמקטע זה מהווה מעין "מקור גלים" השולח גלים נוסעים לכיוונים מנוגדים, בהתאם לדפוס שתואר מקודם (עם משרעת $A/2$). כתוצאה מכך, המיקום של מקטע כלשהו על המיתר מושפע בדיוק מאותן הפרעות ש"הגיעו אליו" באותו רגע, כלומר אלו שנוצרו על ידי שני המקטעים המרוחקים ממנו מרחק $ct$. מעקרון הסופרפוזיציה של גלים עולה שתרומת הפרעות אלו למעתק של המקטע הוא סכומן, כך שדימוי פיזיקלי זה מסביר את שני האיברים הראשונים בנוסחת ד'אלמבר.

כעת נתייחס למקרה הראשון - כאן מקטעי המיתר נעים במהירות רוחבית (כלומר בניצב לו) אך מעתקם הרגעי הוא אפס. גם כאן, ניתן לדמות כל מקטע של המיתר כ"מקור גלים" המשלח הפרעות במהירות הרוחבית ובכיוונים מנוגדים. מטעמי סימטריה ושימור התנע והאנרגיה, כל הפרעה מלבנית אינפיניטסימלית במהירות הרוחבית שגובהה $v_{0}$ (כלומר כשגרף המהירות הרוחבית לפי המקום הוא פונקציית מלבן שגובהו $v_{0}$) תתפצל לשתי הפרעות מנוגדות בשיעור $v_{0}$ כל אחת, אך עם מחצית רוחב המלבן המקורי. בהינתן שני קצוות של קטע מיתר קטן מספיק, מהירות אמצע הקטע תהיה שווה לממוצע החשבוני של מהירויות שני הקצוות. כפועל יוצא מכך, המהירות הרוחבית של מקטע מיתר שרירותי ברגע מסוים תהיה שווה לממוצע החשבוני של המהירויות הרוחביות של המקטעים המרוחקים ממנו מרחק $ct$. כתוצאה, המעתק של מקטע שרירותי, המתקבל מאינטגרציה לפי הזמן של המהירות הרוחבית שלו, שווה לאיבר השלישי בנוסחת ד'אלמבר (האינטגרל).

ראו גם

• משוואת הגלים

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

35149410נוסחת ד'אלמבר