נוסחאות ניוטון-קוטס

באנליזה נומרית, הנוסחאות של ניוטון-קוטס, הנקראות גם כללי הריבוע של ניוטון-קוטס או פשוט כללי ניוטון-קוטס, הן קבוצה של נוסחאות לאינטגרציה נומרית (נקראת גם ריבוע) המבוססת על הערכת האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה. הם נקראים על שם אייזק ניוטון ורוג'ר קוטס.

נוסחאות ניוטון-קוטס יכולות להיות שימושיות אם ניתן הערך של האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה. אם אפשר לשנות את הנקודות שבהן מוערך האינטגרנד, אז כנראה ששיטות אחרות כמו תרבוע גאוס ותרבוע קלנשו-קרטיס (אנ') מתאימות יותר.

תיאור

ההנחה היא שערך הפונקציה $f$ המוגדרת ב $[a,b]$ ידוע ב $n+1$ נקודות שוות מרחק: $a\leq x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}\leq b$ . ישנן שתי מחלקות של ריבוע ניוטון-קוטס: הן נקראות "סגורות" כאשר $x_{0}=a$ ו $x_{n}=b$ , כלומר הן משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה של המרווחים, ו"פתוחות" כאשר $x_{0}>a$ ו $x_{n}<b$ , כלומר הן לא משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה. שימוש בנוסחאות ניוטון-קוטס באמצעות $n+1$ נקודות ניתן להגדרה (עבור שתי המחלקות) כ- ^[1]

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i}),

כאשר

עבור נוסחה סגורה, $x_{i}=a+ih$ , עם $h={\frac {b-a}{n}}$ ,
עבור נוסחה פתוחה, $x_{i}=a+(i+1)h$ , עם $h={\frac {b-a}{n+2}}$ .

המספר $h$ נקרא גודל צעד, $w_{i}$ נקראות משקולות .

ניתן לחשב את המשקולות כאינטגרל של פולינומי לגרנז' בסיסיים. הם תלויים רק ב $x_{i}$ ולא על הפונקציה $f$ .

יהי $L(x)$ פולינום האינטרפולציה בצורת לגראנז' עבור הנקודות $(x_{0},f(x_{0})),(x_{1},f(x_{1})),\ldots ,(x_{n},f(x_{n}))$ , אזי

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}(x)\right)\,dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}.

חוסר יציבות לדרגה גבוהה

ניתן לבנות נוסחת ניוטון-קוטס בכל דרגה $n$ . עם זאת, עבור $n$ גדול כלל ניוטון-קוטס יכול לפעמים לסבול מתופעת רונגה (אנ') ^[2] שבה השגיאה גדלה באופן אקספוננציאלי עבור $n$ גדול. שיטות כמו נצב גאוס וניצב קלנשאו-קרטיס עם נקודות מרווחות באופן לא שווה (מקובצות בנקודות הקצה של מרווח האינטגרציה) הן יציבות ומדויקות הרבה יותר, ובדרך כלל הן מועדפות על ניוטון-קוטס. אם לא ניתן להשתמש בשיטות אלו, מכיוון שהאינטגרנד ניתן רק ברשת הניתנת בחלוקה שווה, אז ניתן להימנע מהתופעה של Runge באמצעות כלל מורכב, כפי שיוסבר להלן.

לחלופין, ניתן לבנות נוסחאות ניוטון-קוטס יציבות באמצעות קירוב ריבועים קטנים במקום אינטרפולציה. כך ניתן לבנות נוסחאות יציבות מבחינה נומרית גם לדרגות גבוהות. ^[3] ^[4]

נוסחאות סגורות של ניוטון-קוטס

טבלה זו מפרטת כמה מהנוסחאות של ניוטון-קוטס מהסוג הסגור. עבור $0\leq i\leq n$ , יהי $x_{i}=a+ih$ כאשר $h={\frac {b-a}{n}}$ , ו $f_{i}=f(x_{i})$ .

**נוסחאות ניוטון-קוטס סגורות**
$n$	גודל צעד $h$	שם נפוץ	נוּסחָה	מונח שגיאה
1	$b-a$	כלל טרפז	${\frac {1}{2}}h(f_{0}+f_{1})$	$-{\frac {1}{12}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
2	${\frac {b-a}{2}}$	כלל סימפסון	${\frac {1}{3}}h(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$	$-{\frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
3	${\frac {b-a}{3}}$	חוק 3/8 של סימפסון	${\frac {3}{8}}h(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})$	$-{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
4	${\frac {b-a}{4}}$	הכלל של בולה	${\frac {2}{45}}h(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})$	$-{\frac {8}{945}}h^{7}f^{(6)}(\xi )$

הכלל של בולה מכונה לעיתים הכלל של בודה, כתוצאה מהפצת טעות דפוס ב־Abramowitz and Stegun, ספר עיון מוקדם. ^[5]

המעריך של גודל הצעד h ברכיב השגיאה מגדיר את הקצב שבו יורדת שגיאת הקירוב. סדר הנגזרת של f ברכיב השגיאה מגדיר את הדרגה הנמוכה ביותר של פולינום שלא ניתן עוד לשלב במדויק (כלומר בשגיאה שווה לאפס) עם הכלל הזה. את המספר $\xi$ יש לקחת מהקטע (a, b ), לפיכך תחום השגיאה שווה לרכיב השגיאה כאשר $f(\xi )=\max(f(x)),a<x<b$ .