משפט נגטה-היגמן
באלגברה, משפט נגטה-היגמן הוא משפט הקובע שכל אלגברה אסוציאטיבית (בלי יחידה) $ A $ מעל שדה ממאפיין 0, שהיא נילית מדרגה חסומה, היא נילפוטנטית. במילים אחרות [1] לכל $ n $ קיים קבוע $ c(n) $ כך שאם $ a^{n}=0 $ לכל $ a\in A $, אז לכל $ a_{1},\dots ,a_{c(n)}\in A $, המכפלה $ a_{1}\cdots a_{c(n)} $ שווה לאפס. הקבוע $ c(n) $ נמצא בטווח $ {\frac {n(n+1)}{2}}\leq c(n)\leq n^{2} $, ומשערים שהוא שווה לחסם התחתון, אבל ערכו המדויק אינו ידוע.
מאפיין חיובי
המשפט, כפי שנוסח כאן, נכון גם כאשר המאפיין חיובי וגדול מ-$ n $, אבל במקרה הכללי הוא ידוע רק כאשר $ A $ נוצרת סופית. למעשה מתקיים העידון הבא: לכל $ n $ ולכל $ d $ יש קבוע $ c_{d}(n) $ כך שכל אלגברה עם $ d $ יוצרים, מעל שדה ממאפיין $ 0<p\leq n $, שכל אבריה נילפוטנטיים מדרגה $ n $ לכל היותר, היא נילפוטנטית מדרגה $ c_{d}(n) $ לכל היותר. גם כאן הערך המדויק של $ c_{d}(n) $ אינו ידוע; ל-$ d $ קבוע קיים תת-מעריכי מהצורה $ c_{d}(n)=O(e^{\log(n)^{2}}) $, ואם מגבילים את המאפיין לטווח $ {\frac {n}{2}}<p\leq n $, ידוע גם חסם פולינומי ב-$ n $ (אך דרגת הפולינום תלויה - לוגריתמית - ב-$ d $)[2].
מעל שדה אינסופי (ממאפיין שרירותי) ישנו חסם פולינומי שניתן על ידי דומוקוש[3]: $ c_{d}(n)\leq (m+2)n^{4} $. אם המאפיין גדול מ-$ n^{2}+1 $ (או 0), אזי $ c_{d}(n)\leq n^{2} $.
היסטוריה
את המשפט הוכיחו ב-1943 Dubnov ו-Ivanov, אלא שמן הגרסה שלהם, שהתפרסמה באמצע המלחמה בכתב-עת רוסי, התעלמו עד שהתגלתה מחדש כארבעים שנה מאוחר יותר. ב-1952 [4] הוכיח Nagata את קיומו של חסם עליון, עצום בגדלו, למספרים $ c(n) $, ובכך הוכיח את המשפט. הוא הראה גם שהמשפט אינו נכון, כלשונו, במאפיין חיובי. מעט אחר-כך, ב-1956 [5] הוכיח גרהם היגמן את המשפט למאפיין חיובי גדול מ-$ n $, ומצא חסם עליון טוב יותר, מעריכי, וגם חסם תחתון ריבועי.
ב-1975 שיפר Kuzmin את החסם התחתון ל-$ c(n)\geq {\frac {n(n+1)}{2}} $, ושער שזהו שוויון (במאפיין אפס). השערה זו נבדקה ונמצאה נכונה עבור $ n=1,2,3,4 $.
בשפה של תורת הזהויות, המשפט קובע (במאפיין אפס) שלכל $ n $ קיים $ c(n) $ כך ש-$ x_{1}\cdots x_{c(n)} $ נמצא ב-T-אידיאל של $ x_{1}^{n} $; כלומר, $ x_{1}\cdots x_{c(n)} $ שייך לאידיאל של האלגברה החופשית $ F\langle x_{1},x_{2},\dots \rangle $ הנוצר על ידי כל החזקות $ f^{n} $. תרגום הבעיה לשפת המטריצות הגנריות אִפשר ל-Razmyslov להוכיח את החסם $ c(n)\leq n^{2} $, שהוא הטוב ביותר הידוע כיום.
הערות שוליים
- ↑ הטענה השנייה חזקה יותר לכאורה משום שהיא מספקת חסם אחיד לכל האלגברות, אבל אין בזה חידוש משום שהחסם של האלגברה החופשית מתאים לכולן
- ↑ [1]
- ↑ Mátyás Domokos, Polynomial bound for the nilpotency index of finitely generated nil algebras, Algebra and Number Theory, Vol. 12 (2018), No. 5, 1233–1242
- ↑ M. Nagata, On the nilpotency of nil-algebras, J. Math. Soc. Japan 4 (1952), 296-301
- ↑ G. Higman, On a conjecture of Nagata, Proc. Camb. Phil. Soc. 52 (1956), 1-4.
משפט נגטה-היגמן33981490Q6852650