משפט הפונקציות הסתומות

באנליזה מתמטית, משפט הפונקציות הסתומות עוסק באפשרות לחלץ ממשוואה בכמה משתנים חלק מהמשתנים כפונקציה של האחרים. כלומר, המשפט מראה באילו תנאים משוואה מציגה פונקציה באופן סתום, ומהן התכונות של אותה פונקציה.

המשפט הוא מקומי (כלומר, הוא מראה שמשוואה מגדירה פונקציה רק בסביבתה של נקודה מסוימת), ואינו נותן דרך להציג את הפונקציה באופן מפורש. למעשה, קיימים מקרים בהם לא ניתן לחלץ את המשתנים התלויים מתוך המשוואה בדרך אלגברית. במקרים האלו האינפורמציה היחידה לגבי הפונקציה ניתנת לנו מתוך משפט הפונקציות הסתומות. בעזרת משפט זה ניתן לחשב את הנגזרות של הפונקציה בנקודה בה מופעל המשפט, ובכך לקבל מידע על התנהגותה של הפונקציה באותה נקודה.

דוגמה למשמעות המשפט

הנקודה $A$ מקיימת את תנאי המשפט, ולכן קיימת סביבה שלה שבה משוואת המעגל מגדירה באופן סתום את $y$ כפונקציה של $x$ . הנקודה $B$ לעומת זאת אינה מקיימת את תנאי המשפט, ואכן לא קיימת סביבה שלה שבה משוואת המעגל מגדירה פונקציה

נביט במשוואה $x^{2}+y^{2}=1$ . משוואה זו מתארת מעגל ברדיוס 1. נניח כי אנו רוצים לחלץ את $y$ ולהציגו כפונקציה של $x$ . על ידי העברת אגפים והוצאת שורש נקבל $y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$ . מכיוון שלכל ערך של $x$ מותאמים שני ערכים עבור $y$ ברור כי זוהי אינה פונקציה, כי פונקציה צריכה להתאים לכל ערך של $x$ ערך יחיד של $y$ . עם זאת, כאשר אנו מתבוננים בנקודה כלשהי על המעגל ומגבילים את ערכי $x,y$ לסביבה קטנה שלה, נקבל כי באותה סביבה $y$ ניתן לחילוץ. למשל, עבור הנקודה $(x,y)=(0,1)$ ניתן לקחת סביבה ברדיוס ${\tfrac {1}{2}}$ ועבורה להגדיר את הפונקציה $y={\sqrt {1-x^{2}}}$ . כך נקבל פונקציה שעוברת דרך הנקודה $(0,1)$ ונקודותיה הן בדיוק נקודות המעגל $x^{2}+y^{2}=1$ בסביבה הנתונה.

עם זאת, לא עבור כל נקודה ניתן לבצע את החילוץ הזה. שתי הנקודות ה"בעייתיות" הן $(-1,0),(1,0)$ . הבעיה בנקודות אלו היא כי בכל סביבה שלהן, אם ננסה לחלץ את $y$ כפונקציה של $x$ , נקבל ערכים של $x$ להם מתאימים שני ערכים של $y$ .

בלשון מעט ציורית, ניתן לתאר את מה שאנו עושים כך: אנו "חותכים" קטעים מהמעגל, ובודקים האם הקטעים הללו נראים כמו גרף של פונקציה. כדי שקטע מעגל יראה כמו גרף של פונקציה, צריך להתקיים שכל קו אנכי חותך את קטע המעגל בנקודה יחידה- כלומר לפונקציה יהיה ערך אחד בלבד עבור כל נקודה. אם הקו לא חותך אותו כלל, פירוש הדבר היה שהפונקציה לא מוגדרת בנקודה שהיא קואורדינטת ה־$x$ של הקו האנכי. אם הוא חותך אותו בשתי נקודות או יותר פירוש הדבר היה שכמה ערכי $y$ מתקבלים עבור אותו ערך של $x$ , ולכן זה לא גרף של פונקציה. מעגל נראה כמו הדבקה של שני חצאי מעגל (אחד מעל ציר $x$ ואחד מתחתיו), ולכן עבור כל נקודה שאינה בעייתית ניתן לחתוך המעגל בסביבה כזו שתכיל רק חלק מאחת משני חצאי המעגל, ויתקבל גרף של פונקציה. לעומת זאת, בנקודות הבעייתיות, כל סביבה שניקח תחתוך חלק משני חצאי המעגל יחד, ולכן לא יתקבל גרף של פונקציה.

ניסוח פורמלי

תהא $D\subseteq \mathbb {R} ^{m+n}$ קבוצה פתוחה ותהא $F(x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n}):D\to \mathbb {R} ^{n}$ פונקציה ב־$m+n$ משתנים, עבורה $F\in C^{1}(D)$ (כלומר, בעלת נגזרות חלקיות רציפות בקטע).

תהא $c\in \mathbb {R} ^{n}$ נקודה קבועה כלשהי. אז נתבונן בקבוצה $E={\bigl \{}p\in D:F(p)=c{\bigr \}}$ . נניח כי קבוצה זו לא ריקה. (אנו רוצים להראות כי קבוצת נקודות זאת היא גרף של פונקציה המוגדרת בסביבת הנקודה $c$).

(בדוגמה שהבאנו קודם, $F(x,y)=x^{2}+y^{2},c=1$).

תהי $p_{*}\in E$ . זוהי הנקודה שסביבה נרצה לבצע את החילוץ. לצורך נוחות נסמן $x=(x_{1},\ldots ,x_{m})\in \mathbb {R} ^{m},y=(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ . כעת נסמן $p_{*}=(x_{*},y_{*})$ .

נביט בתת־המטריצה הבאה של מטריצת יעקובי של $F$ : $\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial y_{j}}}(p_{*})\right)_{ij}$ . אם תת־מטריצה זו היא הפיכה אז קיים $r>0$ ופונקציה $\Psi :B(x_{*},r)\to \mathbb {R} ^{n}$ עבורה $\Psi \in C^{1}{\bigl (}B(x_{*},r){\bigr )}$ , ומתקיים: $F(x,y)=c\iff y=\Psi (x)$ (כלומר, $\Psi$ היא הפונקציה שחיפשנו).

דוגמה לשימוש במשפט

נדגים כיצד ניתן להשתמש במשפט כדי לחשב את נגזרת הפונקציה החלקית. נדגים זאת על פונקציה שניתן להציג בקלות בצורה מפורשת, כדי להראות שמקבלים את אותה התוצאה בשני המקרים.

נביט בביטוי $xy+x+y=1$ . ראשית נחלץ מהביטוי את $y$ בצורה מפורשת: $y(x+1)=1-x$ , כלומר $y={\frac {1-x}{1+x}}$ (פונקציה זו לא מוגדרת עבור $x=-1$). נגזור ונקבל:

$y'={\frac {-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^{2}}}=-{\frac {2}{(1+x)^{2}}}$

כעת נשתמש במשפט הפונקציות הסתומות על הביטוי. תהי $F(x,y)=xy+x+y$ הפונקציה שלנו. אז הנגזרת החלקית על פי $y$ היא $x+1$ . פונקציה זו היא היעקוביאן שאנו רוצים שיהיה שונה מאפס, מה שמתקיים לכל נקודה פרט ל־$x=-1$ . כלומר בכל נקודה פרט לזו ניתן לחלץ את $y$ (נשים לב שזה זהה למה שקיבלנו כאשר ביצענו את החילוץ ישירות).

מכאן שבסביבת כל $x\neq -1$ קיימת פונקציה $y=f(x)$ המציגה את $y$ כפונקציה של $x$ (בחישוב שעשינו קודם ראינו כי $f(x)={\frac {1-x}{1+x}}$ , אך משפט הפונקציות הסתומות לא נותן לנו את הפונקציה בצורה מפורשת).

נציב אותה בביטוי שלנו ונקבל: $x\cdot f(x)+x+f(x)=1$ . כעת נגזור את הביטוי תוך שימוש בכלל המכפלה ונקבל: $f(x)+xf'(x)+1+f'(x)=0$ . נחלץ בצורה אלגברית את $f'(x)$ : $f'(x)(1+x)=-1-f(x)$ , כלומר $f'(x)={\frac {-1-f(x)}{1+x}}$ . באמצעות הכרת ערכי $f(x)$ בנקודות שונות אנו מסוגלים להסיק מהביטוי שקיבלנו את ערכי $f'(x)$ באותן נקודות. אם נציב את הביטוי שמוכר לנו עבור $f(x)$ בנוסחה שקיבלנו, נראה כי קיבלנו את אותן תוצאות בשתי השיטות.

לכאורה, כאן השימוש במשפט הפונקציות הסתומות יעיל פחות מאשר חילוץ ישיר. אלא שחילוץ ישיר לא תמיד אפשרי, ואילו משפט הפונקציות הסתומות מאפשר את חישוב הנגזרות גם במקרה שבו קיימת פונקציה מפורשת אך אין לנו דרך למצוא אותה.