משפט ההיטל המרכזי

במתמטיקה, משפט ההיטל המרכזי (אנגלית: Projection-slice theorem, לעיתים Fourier slice theorem) אומר כי שני התהליכים הבאים, עבור פונקציה $ f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} $ וישר $ a $ דרך הראשית, נותנים את אותה התוצאה:

• לקחת את התמרת פורייה הדו-ממדית של $ f $ ולקחת את הערכים שלה על הישר $ a $ .
• להטיל את $ f $ על הישר $ a $ ולהפעיל על ההיטל התמרת פוריה.

למשפט שימושים רבים בטומוגרפיה.

ניסוח פורמלי

נסמן $ P_{m} $ את אופרטור ההיטל על תת-מרחב לינארי מממד $ m $ (היטל במובן של אינטגרל על המשלים האורתוגונלי בכל נקודה)

נסמן $ S_{m} $ את אופרטור החיתוך עם אותו תת-המרחב שעובר דרך הראשית, ונסמן $ F_{N},F_{m} $ את התמרת פורייה ב-$ N,m $ ממדים בהתאמה.

אזי לכל פונקציה $ f:\mathbb {R} ^{N}\to \mathbb {R} $ מתקיים:

$ F_{m}P_{m}=S_{m}F_{n} $

הוכחה למקרה הדו-ממדי

סיבוב פונקציה סביב הראשית הוא פעולה המתחלפת עם התמרת פוריה, ולכן ניתן להניח ללא הגבלת הכלליות כי ההיטל והחיתוך מתבצעים על ציר $ x $ .

נסמן את $ f(x,y):\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} $ , ונסמן את ההיטל שלה על ציר $ x $ להיות:

$ p(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy $

והתמרת פורייה שלה להיות:

$ {\begin{aligned}F(k_{x},k_{y})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,e^{-2\pi (xk_{x}+yk_{y})i}dx\,dy\end{aligned}} $

אז החיתוך של התמרת הפורייה עם ציר $ x $ הוא:

$ {\begin{aligned}s(k_{x})=F(k_{x},0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-2\pi xk_{x}i}dx\,dy=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left[\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy\right]e^{-2\pi xk_{x}i}dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }p(x)e^{-2\pi xk_{x}i}dx\end{aligned}} $

וזו בדיוק התמרת פורייה של $ p(x) $ .