משפט דיני

משפט דיני הוא משפט מתמטי בתחום האנליזה המתמטית, העוסק בהתכנסות נקודתית של סדרה מונוטונית של פונקציות, או של טור פונקציות אי־שליליות.

המשפט נקרא על שם המתמטיקאי והפוליטיקאי האיטלקי אוליסה דיני (1845–1918). משפט זה הוא דוגמה טובה למקרה בו התכנסות נקודתית, תכונה חלשה יחסית, גוררת התכנסות במידה שווה, שהיא תכונה חזקה הרבה יותר. התכונה נגררת עקב המונוטוניות של סדרת הפונקציות.

ניסוח המשפט

• עבור סדרת פונקציות:

תהי $\{f_{n}\}\to f$ סדרה מונוטונית של פונקציות (כלומר, לכל $n\in \mathbb {N}$ מתקיים $\forall x\in X:f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)$ או $\forall x\in X:f_{n}(x)\geq f_{n+1}(x)$) המוגדרות בקטע סגור $X$, רציפות המתכנסות נקודתית ל־$f$, שגם היא רציפה בקטע. אזי ההתכנסות היא במידה שווה.

• עבור טורי פונקציות:

תהי $f_{n}(x)\geq 0$ סדרת פונקציות רציפות אי־שליליות, והטור $\sum _{i=1}^{n}f_{n}(x)$ מתכנס נקודתית לסכום $S(x)$ שגם הוא פונקציה רציפה, אז ההתכנסות היא במידה שווה.

יש לשים לב כי דרישת הרציפות של הפונקציות וכן של פונקציית הגבול, הכרחית. על מנת להדגים את הכרחיות הדרישה כי פונקציית הגבול תהיה רציפה, ניתן להסתכל על סדרת הפונקציות $f_{n}(x)=x^{n}$ בקטע $[0,1]$ . בסדרה זו מתקיים $\forall x<1:\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0$, אך בנקודת הקצה הגבול הוא $\lim _{n\to \infty }f_{n}(1)=1$ ולכן פונקציית הגבול אינה רציפה, וקל לראות שההתכנסות איננה התכנסות במידה שווה.

הוכחה

נניח ללא הגבלת הכלליות כי $f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)$.

יהי $\varepsilon >0$. נגדיר $g_{n}(x)=f(x)-f_{n}(x)$ ותהי $E_{n}={\bigl \{}x\in X:|g_{n}(x)|<\varepsilon {\bigr \}}$. הפונקציה $g_{n}$ רציפה ולכן $E_{n}$ קבוצה פתוחה. $f_{n}$ מונוטונית עולה ולכן $g_{n}$ מונוטונית יורדת והסדרה $E_{n}$ גדלה. מההתכנסות הנקודתית של $f_{n}$ נובע כי האיחוד $\bigcup _{k=1}^{n}E_{k}$ הוא כיסוי פתוח ל־$X$. עבור קבוצה קומפקטית (סגורה וחסומה) קיים תת־כיסוי סופי, ולכן $\max E_{n}$ גם הוא כיסוי. כלומר קיים $N$ עבורו $E_{N}=X$ ולכל $n>N$ מתקיים $|g_{n}(x)|<\varepsilon$.