משחק מנורמל

משחק מנורמל הוא סוג של משחק שיתופי. בתורת המשחקים, משחק שיתופי הוא משחק שבו השחקנים יכולים להגיע להסכמים מחייבים ולהחלטות משותפות. במשחקים שיתופיים עם תשלומי צד משתתפים מספר סופי של שחקנים ולכל קואליציה סכום אותו היא יכולה להבטיח. בנוסף למשחק מנורמל, יש עוד סוגים של משחקים שיתופיים עם תשלומי צד, למשל: משחק רווח, משחק הוצאות, משחק שוק ומשחק רוב משוקלל.

הגדרה פורמלית

• המשחק $\ \left(N;v\right)$ "מנורמל $\ 0-1$ " אם: $\ v\left(i\right)=0$ לכל שחקן $\ i\in N$ וגם $\ v\left(N\right)=1$.
• המשחק $\ \left(N;v\right)$ "מנורמל $\ 0-0$ " אם: $\ v\left(i\right)=0$ לכל שחקן $\ i\in N$ וגם $\ v\left(N\right)=0$.
• המשחק $\ \left(N;v\right)$ "מנורמל $\ 0-\left(-1\right)$ " אם: $\ v\left(i\right)=0$ לכל שחקן $\ i\in N$ וגם $\ v\left(N\right)=-1$.

נירמול ושקילות אסטרטגית

כל משחק בצורה קואליציונית שקול אסטרטגית למשחק מנורמל מסוג אחד בלבד. ניתן להציב תנאים על משחק בצורה קואליציונית כדי לקבוע לאיזה משחק מנורמל הוא שקול אסטרטגית:

יהי משחק $\ \left(N;v\right)$ משחק בצורה קואליציונית:
1. המשחק $\ \left(N;v\right)$ שקול אסטרטגית למשחק מנורמל $\ 0-1$ $\ \Leftrightarrow$ $\ v\left(N\right)>\sum \limits _{i\in N}{v\left(i\right)}$.
2. המשחק $\ \left(N;v\right)$ שקול אסטרטגית למשחק מנורמל $\ 0-0$ $\ \Leftrightarrow$ $\ v\left(N\right)=\sum \limits _{i\in N}{v\left(i\right)}$.
3. המשחק $\ \left(N;v\right)$ שקול אסטרטגית למשחק מנורמל $\ 0-\left(-1\right)$ $\ \Leftrightarrow$ $\ v\left(N\right)<\sum \limits _{i\in N}{v\left(i\right)}$.

שימושים

למשחקים מנורמלים השפעה משמעותית בהוכחת משפט בונדרבה-שפלי. בהוכחת המשפט משתמשים במשפט שכל משחק שקול אסטרטגית למשחק מנורמל.

ראו גם

• משחק שיתופי
• שקילות אסטרטגית

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946