ההגדרה השנייה היא שמשוואה דיפרנציאלית נקראת הומוגנית אם היא פונקציה הומוגנית של הפונקציה הנעלמת ונגזרותיה.
במקרה של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות, משוואה הומוגנית היא משוואה דיפרנציאלית ליניארית שאין בה איברים קבועים. ניתן להסיק את הפתרונות של כל משוואת דיפרנציאלית רגילה ליניארית מכל סדר שהוא על ידי אינטגרציה מהפתרון של המשוואה ההומוגנית המתקבלת על ידי הסרת האיבר הקבוע.
המונח הומוגניות הוזכר לראשונה בהקשר של משוואות דיפרנציאליות על ידי יוהאן ברנולי בפסקה 9 במאמרו De integraionibus aequationum differentialium (על אינטגרציית משוואות דיפרנציאליות)[3] משנת 1726.
כך המשוואה הדיפרנציאלית המקורית הופכת לצורה בה ניתן לבצע בה הפרדת משתנים:
או:
כעת ניתן לבצע אינטגרציה ישירות: היא הפונקציה הקדומה של הצד השמאלי של המשוואה.
מקרה פרטי
משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון מהצורה (, , , , ו־ הם קבועים):
כאשר ניתן להפוך אותה להומוגנית על ידי העתקה ליניארית של שני המשתנים ( ו־ הם קבועים):
משוואות דיפרנציאליות ליניאריות הומוגניות
משוואה דיפרנציאלית ליניארית היא הומוגנית אם היא משוואה ליניארית הומוגנית שהפונקציה הנעלמת ונגזרותיה הן הנעלמים בה. מכאן נובע שאם הוא פתרון של המשוואה, כך גם , עבור כל קבוע השונה מאפס. כדי שתנאי זה יתקיים, כל איבר שאינו אפס של המשוואה הדיפרנציאלית הליניארית חייב להיות תלוי בפונקציה הנעלמת או בנגזרת כלשהי שלה. משוואה דיפרנציאלית ליניארית שלא מקיימת תנאי זה נקראת לא הומוגנית (inhomogeneous).
ניתן לייצג משוואה דיפרנציאלית ליניארית כאופרטור ליניארי הפועל על כאשר הוא בדרך כלל המשתנה הבלתי תלוי ו־ הוא המשתנה התלוי. לכן, הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית הומוגנית ליניארית היא:
כאשר הוא אופרטור דיפרנציאלי ליניארי, כלומר סכום של נגזרות (כאשר "הנגזרת ה-0" מוגדרת כפונקציה המקורית, ללא גזירה) שכל אחת מהן מוכפלת בפונקציה של :
כאשר הפונקציה יכולה להיות קבוע, אבל לא כל יכולה להיות אפס.
לדוגמה, המשוואה הדיפרנציאלית הליניארית הבאה היא הומוגנית:
ואילו השתיים הבאות אינן הומוגניות:
קיומו של איבר קבוע הוא תנאי מספיק כדי שמשוואה תהיה לא הומוגנית, כמו בדוגמה לעיל.
Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012), Elementary differential equations and boundary value problems (10th ed.), Wiley, ISBN978-0470458310. (This is a good introductory reference on differential equations.)