מרחב אורכים
בטופולוגיה, מרחב מטרי נקרא מרחב אורכים אם אפשר לקרב בו את המרחקים על ידי מסילות. מרחב אורכים נקרא גם מרחב מטרי פנימי (intrinsic).
מרחב אורכים שבו כל מרחק מתקבל על ידי מסילה נקרא מרחב גאודזי, או מרחב מטרי פנימי בחזקה (strongly intrinsic).
אפיון פנימי
מרחב מטרי (X,d) הוא מרחב אורכים אם ורק אם לכל a,b ולכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon>0} יש מסילה מ-a ל-b שארכה קטן מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(a,b)+\epsilon} .
נקודה x המקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |d(a,x)-d(x,b)|\leq \epsilon} נקראת נקודת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon} -אמצע של a,b; ונקודת-אמצע אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(a,x)=d(x,b)} . מרחב מטרי שלם שיש בו נקודת אמצע לכל a,b, הוא גאודזי. מרחב מטרי שלם שיש בו נקודת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon} -אמצע לכל ולכל a,b הוא מרחב אורכים.
משפט Hopf-Rinow קובע כי מרחב אורכים קומפקטי מקומית שלם הוא קומפקטי בחסימות (כלומר, כל קבוצה סגורה וחסומה היא קומפקטית). מרחב אורכים קומפקטי מקומית וקומפקטי בחסימות הוא מרחב גאודזי.
מרחב האורכים של מרחב מטרי
בכל מרחב מטרי קשיר מסילתית אפשר להגדיר מטריקת אורכים, בתור האינפימום של אורכי כל המסילות בין הנקודות. המרחב המתקבל הוא מרחב אורכים, שהמרחקים שלו חסומים מלמטה על ידי המטריקה המקורית. בניה זו היא אידמפוטנטית: מטריקת האורכים של מטריקת אורכים שווה לעצמה.
ראו גם
מקורות
- A Course in Metric Geometry, Burago, Burago and Ivanov, 2001.
38884649מרחב אורכים