מצב בל
מצב בֶּל הוא מצב קוונטי של מערכת המכילה שני קיוביטים שזורים. מצבי בל קרויים על שם החוקר ג'ון בל (John S. Bell), לאור העובדה שמצבים אלו מפירים אי-שוויון ידוע, אי שוויון בל אשר נוסח על ידו.
אי שוויון בל
על מנת להסביר את הרעיון העומד מאוחרי מצבי בל, נתחיל עם דוגמה בעולם הקלאסי. נניח שאליס ובוב משחקים את המשחק הבא:
- כל אחד מהם מקבל 2 קיוביטים זהים
- כל אחד מהם מודד את אחד הקיוביטים שלו בבסיס החישוב (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |0\rangle,|1\rangle} ) ואת השני בבסיס הדמר (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |+\rangle,|-\rangle} ).
- אליס שומרת את התוצאה של המדידה בבסיס החישוב במשתנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ואת התוצאה של המדידה בבסיס הדמר במשתנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_H} . באופן זהה בוב שומר את התוצאה במשתנים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b, b_H}
- אם נמדד המצב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |0\rangle} או המצב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |+\rangle} שומרים במשתנה את הערך 1, ואחרת את הערך 1-.
אי שוויון בל קובע כי התוחלת הבאה קטנה או שווה לערך 2: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E[ab]-E[a_Hb]+E[a_Hb_H]+E[ab_H] \leq 2} אי השוויון נובע משיקולים של תורת ההסתברות, ונכון באופן כללי, ללא קשר למכניקת הקוונטים.
באופן מפתיע, אם נבצע את הניסוי המתואר לעיל, כאשר אליס מקבלת חצי ממצב בל, ובוב מקבל את החצי השני, אי-השוויון מופר, והתוחלת מקבלת ערך הגבוה מ-2.
מצבי בל
ארבעת מצבי בל הינם מצבים של שני קיוביטים שזורים מקסימלית (כלומר - מפירים את אי-שוויון בל באופן מקסימלי) המוגדרים באופן הבא
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix} |\Phi^+\rangle &=& \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |0\rangle_B + |1\rangle_A \otimes |1\rangle_B) \\ |\Phi^-\rangle &=& \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |0\rangle_B - |1\rangle_A \otimes |1\rangle_B) \\ |\Psi^+\rangle &=& \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |1\rangle_B + |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B) \\ |\Psi^-\rangle &=& \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |1\rangle_B - |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B) \end{matrix} }
ניקח לדוגמה את המצב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\Psi^-\rangle} (מצב זה יידוע גם בשם סינגלט). בהנחה שאליס מדדה בבסיס החישוב אל הערך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |0\rangle} המדידה של בוב תתן את הערך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |1\rangle} , ולהפך, אם אליס מדדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |1\rangle} בוב ימדוד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |0\rangle} . אין חשיבות לסדר בו הם מודדים או למיקומם. למשל - אליס יכולה להיות על הירח בעוד בוב על כדור הארץ, עדיין, כאשר אליס מודדת את הקיוביט שברשותה, בו-ברגע נקבע מצב הקיוביט אצל בוב. חשוב לציין כי טרם ביצוע המדידה (אצל הראשון מביניהם), לא ניתן לקבוע מה תהיה תוצאת המדידה: קיימת הסתברות שווה לקבל 0 או 1.
תכונה זו אינה משתנה כאשר אליס ובוב משתמשים בבסיס אחר. להדגמה, נניח שימוש בבסיס הדמר. נשתמש בשיוונות הבאים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + |-\rangle\right)} ו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right)} ונקבל
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} |\Psi^-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |1\rangle_B - |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B) \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}} \left (\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle+|-\rangle\right)_A \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right)_B - \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right)_A \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + |-\rangle\right)_B\right ) \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}} (|+\rangle_A \otimes |-\rangle_B - |-\rangle_A \otimes |+\rangle_B) \end{align} }
באופן דומה, הסינגלט ניתן לרישום בצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\Psi^-\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} (|e_1\rangle_A \otimes |e_2\rangle_B - |e_2\rangle_A \otimes |e_1\rangle_B)} עבור כל בסיס נתון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{|e_1\rangle, |e_2\rangle\}} .
השלכות על שוויון בל
נחזור על הניסוי המתואר לעיל (באופן מחשבתי).
- אליס מקבלת קיוביט אחד ממצב הסינגלט, ובוב מקבל את החצי השני.
- כל אחד מהם בוחר באיזה בסיס לבצע מדידה - בבסיס החישוב או בבסיס הדמר.
- את התוצאה שומרים כמקודם במשתנה המתאים
קל לראות, כי אם אליס ובוב מדדו באותו הבסיס, תמיד יקבלו ערכים שונים, כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E[ab]=E[a_Hb_H]=-1} בעוד כאשר הבסיסים שלהם אינם תואמים, המשתנים שלהם יהיו שווים בהסתברות חצי, ושונים בהסתברות חצי, לפיכך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E[a_Hb]=E[ab_H]=0} . במקרה זה אי-השוויון של בל עודנו תקף.
נחזור על הניסוי אך טרם המדידה של בוב נבצע סיבוב של הקיוביט של בוב בעזרת השער הקוונטי המוגדר על ידי האופרטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_\theta = \begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\ \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix}} (הפעלת השער ומדידה בבסיס החישוב/הדמר, שקולה לביצוע מדידה על ידי בסיסים המסובבים בזווית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta} מבסיס החישוב/הדמר). חישוב התוחלת מחדש מראה כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E[ab]=E[a_Hb_H]=-\cos(2\theta), \, E[ab_H]=-\sin(2\theta), \, E[a_Hb]=\sin(2\theta)} כך שעבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta = 5\pi/8} מתקבל ערך תוחלת של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\sqrt{2}} אשר מפר את אי-השוויון.
שימושים והערות
- מצבי בל הינם כלי עיקרי בחישוב קוונטי ומאפשרים ביצוע פעולות כגון טלפורטציה קוונטית.
- חלק מפרוטוקולי הצפנה קוונטית עושים שימוש במצבי בל.
- ארבעת מצבי בל מהווים בסיס עבור מערכת קוונטית ארבע-ממדית (כלומר - בסיס עבור שני קיוביטים).
ראו גם
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] מצב בל22365308