מעגל אפולוניוס

הגדרת המעגל לפי אפולוניוס. לכל נקודה $P$ היחס ${\frac {d_{1}}{d_{2}}}$ קבוע

מעגל אפולוניוס של זוג נקודות הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שהיחס בין מרחקיהן אל הנקודות הנתונות הוא קבוע.

המעגל קרוי על שמו של אפולוניוס מפרגה, גאומטריקן מיוון העתיקה.

הגדרה

בהנתן שתי נקודות $A,B$ , מעגל אפולוניוס הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות $P$ המקיימות ${\frac {AP}{BP}}=k$ כאשר $k\neq 1$ קבוע חיובי.

שקילות למעגל

נוכיח שבמקרה $k\neq 1$ , מעגל אפולוניוס הוא מעגל:

תהיינה $C,D$ הנקודות המקיימות את התנאי ונמצאות על הישר $AB$ , כמודגם באיור (כאן נכנסת הדרישה $k\neq 1$ . במקרה $k=1$ יש רק נקודה אחת כזו על הישר, מרכז הקטע $AB$).

תהי $P$ נקודה נוספת על מעגל אפולוניוס. לפי הנתון ${\frac {AP}{BP}}={\frac {AC}{BC}}={\frac {AD}{BD}}$ .

לכן ממשפט חוצה הזווית ההפוך למשולש $\triangle APB$ נובע כי $PC$ חוצה את הזווית הפנימית ב־$P$ ו־$PD$ חוצה את הזווית החיצונית ב־$P$ .

מכיוון שסכום הזווית הפנימית והחיצונית הוא 180 מעלות, הזווית $\angle CPD$ היא זווית ישרה. כלומר $\triangle CPD$ הוא משולש ישר-זווית החסום במעגל שקוטרו $CD$ .

לכן כל $P$ על מעגל אפולוניוס נמצאת על המעגל הנ"ל. באותו אופן ניתן להראות שכל נקודה על המעגל שקוטרו $CD$ נמצאת על מעגל אפולוניוס.

תכונות

• מרכז המעגל נמצא על הישר $AB$ .
• כל מעגל שעובר דרך הנקודות $A,b$ מאונך למעגל אפולוניוס (כלומר, המשיקים שיוצאים מנקודות החיתוך שלהם מאונכים זה לזה).
• אם מבצעים אינוורסיה יחסית למעגל אפולוניוס, $A$ עובר ל־$B$ ולהפך.
• לכל נקודה $P$ על המעגל, אם הישר $AP$ חותך את המעגל בנקודה $K$ והישר $BP$ חותך אותו בנקודה $L$ , אזי $K,L$ סימטריות ביחס לישר $AB$ (כלומר הוא האנך האמצעי שלהן).