מספר קונגרואנטי

בעיות פתוחות במתמטיקה:

כיצד אפשר לקבוע אם מספר נתון הוא קונגרואנטי?
(בעיות פתוחות נוספות במתמטיקה)

במתמטיקה, מספר קונגרואנטי הוא מספר טבעי שהוא שטח של משולש ישר-זווית שאורכי שלוש צלעותיו הם מספרים רציונליים. לדוגמה, 6 הוא מספר קונגרואנטי שכן הוא שטח המשולש שצלעותיו הוא 3,4,5, וגם 5 הוא מספר קונגרואנטי שכן הוא שטח המשולש ישר הזווית שאורך צלעותיו ${\tfrac {20}{3}},{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {41}{6}}$ . לעומת זאת כל המספרים הטבעיים הקטנים מ-5 אינם קונגרואנטים.

רשימת המספרים הקונגרואנטים הראשונים: 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, …

בניסוח אלגברי, מספר טבעי $\ n$ הוא קונגרואנטי אם ורק אם קיים פתרון במספרים רציונליים למערכת המשוואות הבאה:

$\ x^{2}+y^{2}=z^{2}$
$\ n={\frac {xy}{2}}$

בעיית המספר הקונגרואנטי

השאלה אם מספר רציונלי נתון הוא מספר קונגרואנטי נקראת "בעיית המספר הקונגרואנטי". נכון לימינו (2021) בעיה זו לא הובאה לפתרון מוצלח ונחשבת בעיה פתוחה בתורת המספרים. התיאוריה של טאנל (Tunnell's theorem) מספקת קריטריון פשוט לקביעת אם מספר קונגרואנטי, אולם התוצאה שלו מסתמכת על השערת ברץ' וסווינרטון-דייר, אשר טרם הוכחה אף היא.

משפט המשולש הישר של פרמה, על שמו של פייר דה פרמה, קובע כי מספר רבוע (מספר שהוא ריבוע של מספר שלם אחר) אינו יכול להיות מספר קונגרואנטי, וכן מספר שהוא כפולה של מספר רבוע לא יכול אף הוא להיות קונגרואנטי.