מטריצת קושי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, מטריצת קושי היא מטריצה A בגודל m×n שאיבריה נתונים על ידי:

$ \,a_{ij}={\frac {1}{x_{i}+y_{j}}};\qquad x_{i}+y_{j}\neq 0,\qquad 1\leq i\leq m,\qquad 1\leq j\leq n $

כאשר $ \,x_{i} $ ו-$ \,y_{j} $ הן סדרות של איברים השייכים לשדה $ \,{\mathcal {F}} $, כך שאיברי הסדרות שונים זה מזה.

תכונות

  • כאשר m=n, הדטרמיננטה של מטריצת קושי, הידועה בשם דטרמיננטת קושי נתונה על ידי הנוסחה המפורשת:
$ \det A={{\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})\prod _{i<j}(y_{i}-y_{j})} \over {\prod _{i,j}(x_{i}+y_{j})}}.\, $
  • מנוסחה זו, ומהעובדה שאיברי הסדרות שונים זה מזה, נקבל כי מטריצת קושי היא תמיד מטריצה הפיכה.
  • כל תת מטריצה של מטריצת קושי היא מטריצת קושי.

דוגמאות

מטריצת הילברט היא מקרה פרטי של מטריצת קושי כאשר מתקיים

$ \,x_{i}+y_{j}=i+j-1 $

לקריאה נוספת

  • A. Gerasoulis, A fast algorithm for the multiplication of generalized Hilbert matrices with vectors, Mathematics of Computation, 1988; vol. 50, no. 181, pp. 179-188.
  • I. Gohberg, T. Kailath, V. Olshevsky, Fast Gaussian elimination with partial pivoting for matrices with displacement structure. Mathematics of Computation, 1995; vol. 64, no. 212, pp. 1557-1576.
  • P.G. Martinsson, M. Tygert, V. Rokhlin, An $ O(N\log ^{2}N) $ algorithm for the inversion of general Toeplitz matrices, Computers & Mathematics with Applications, 2005; 50, pp. 741-752.
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מטריצת קושי24424846Q2915997