מטריצת קושי
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
במתמטיקה, מטריצת קושי היא מטריצה A בגודל m×n שאיבריה נתונים על ידי:
- $ \,a_{ij}={\frac {1}{x_{i}+y_{j}}};\qquad x_{i}+y_{j}\neq 0,\qquad 1\leq i\leq m,\qquad 1\leq j\leq n $
כאשר $ \,x_{i} $ ו-$ \,y_{j} $ הן סדרות של איברים השייכים לשדה $ \,{\mathcal {F}} $, כך שאיברי הסדרות שונים זה מזה.
תכונות
- כאשר m=n, הדטרמיננטה של מטריצת קושי, הידועה בשם דטרמיננטת קושי נתונה על ידי הנוסחה המפורשת:
- $ \det A={{\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})\prod _{i<j}(y_{i}-y_{j})} \over {\prod _{i,j}(x_{i}+y_{j})}}.\, $
- מנוסחה זו, ומהעובדה שאיברי הסדרות שונים זה מזה, נקבל כי מטריצת קושי היא תמיד מטריצה הפיכה.
- כל תת מטריצה של מטריצת קושי היא מטריצת קושי.
דוגמאות
מטריצת הילברט היא מקרה פרטי של מטריצת קושי כאשר מתקיים
- $ \,x_{i}+y_{j}=i+j-1 $
לקריאה נוספת
- A. Gerasoulis, A fast algorithm for the multiplication of generalized Hilbert matrices with vectors, Mathematics of Computation, 1988; vol. 50, no. 181, pp. 179-188.
- I. Gohberg, T. Kailath, V. Olshevsky, Fast Gaussian elimination with partial pivoting for matrices with displacement structure. Mathematics of Computation, 1995; vol. 64, no. 212, pp. 1557-1576.
- P.G. Martinsson, M. Tygert, V. Rokhlin, An $ O(N\log ^{2}N) $ algorithm for the inversion of general Toeplitz matrices, Computers & Mathematics with Applications, 2005; 50, pp. 741-752.
מטריצת קושי24424846Q2915997