מונואיד חופשי
מונואיד חופשי הינו מבנה מתמטי, מהסוג מונואיד, המקיים את התכונה במאפיינת אובייקטים חופשיים.
הגדרה
קיימות מספר הגדרות שונות למונואיד חופשי.
מונואיד חופשי $ (F,\cdot ,1_{F},S) $ הינו רביעיה סדורה של קבוצה $ F $, פעולה $ \cdot :F\times F\rightarrow F $, איבר $ 1_{F}\in F $, וקבוצה נוספת $ S\subset F $ כך ש $ (F,\cdot ,1_{F}) $ מונואיד ומתקיים:
ההגדרות הבאות שקולות:
- לכל $ (M,*,1_{M}) $מונואיד, ולכל $ f:S\rightarrow M $ פונקציה, קיים הומומורפיזם יחיד $ {\tilde {f}}:F\rightarrow M $ כך שמתקיים $ {\tilde {f}}\circ i=f $ כאשר $ i $ העתקת ההכלה (כלומר $ i:S\rightarrow F,\forall a\in S:i(a)=a $). ניתן לראות הגדרה זו כ"חופש" של הקבוצה $ S $. כל ההומומורפיזמים של המונואיד $ F $ נקבעים על ידי קבוצה זו, כלומר היא מהווה את כל ה"בשר" של המונואיד, ובנוסף כל "בחירה" של אברי $ S $ "לאן ללכת" מייצרת הומומורפיזם, מה שניתן לראות כ"חופש" של אברי $ S $.[1]
- $ S $ יוצרת את $ F $, וגם לכל מספר טבעי $ n>0 $ ולכל $ \left\{s_{i}\right\}_{i=1}^{n}\subset S $ מתקיים: $ s_{1}\cdot \ldots \cdot s_{n}=\prod _{i=1}^{n}s_{i}\neq 1_{F} $. ניתן להבין תנאי זה כחוסר ביחסים בין איברי הקבוצה $ S $. אם הייתה קיימת מכפלה כזו השווה ל$ 1_{F} $ יכולנו להבין מכפלה כזו כיחס שאברי הקבוצה מקיימים.[1]
דוגמאות
המספרים הטבעיים $ \mathbb {\mathbb {N} } $
הדוגמא הפשוטה ביותר למונואיד חופשי היא המספרים הטבעיים עם פעולת החיבור הרגילה, האיבר $ 0 $ המהווה איבר נטרלי (בערך זה קבוצת המספרים בטבעיים כוללת את המספר $ 0 $), ו$ \left\{1\right\} $ מהווה את $ S $.
כלומר הקבוצה $ F $ מכילה מספרים כמו $ 0,1,2,3,45,100,6 $ וכו', הפעולה חיבור פועלת באופן הבא: $ 1+1=2,20+5=25 $ וכו'. האיבר 0 פועל באופן נטרלי: $ 0+1=1,4+0=4,84+0=84 $ וכו'. וכמובן, ניתן לוודא גם את הגדרה 1 וגם את הגדרה 2.
כוכב קלין
ערך מורחב – כוכב קלין
כוכב קלין של קבוצה כלשהי של תווים $ A $ מסומן ב-$ A^{*} $ ומהווה למעשה מונואיד חופשי ביחס לשרשור המהווה כפל, המילה הריקה המהווה 1, ו-$ A $ המהווה את הקבוצה $ S $. לדוגמא אם $ A=\left\{a,b,c\right\} $ אז $ A^{*} $ מכיל איברים כגון $ a,abab,aaabbcba $ וכו'. הפעולה שרשור פועלת לדוגמא באופן הבא: $ ab*ca=abca $.[2]
תתי-מונואידים של המונואיד החופשי
הגדרת תת-מונואיד
יהי $ (M,*,1_{M}) $ מונואיד. אומרים כי $ L $ תת-מונואיד של $ (M,*,1_{M}) $ אם ורק אם מתקיימות הטענות הבאות:
- $ L\subseteq M $.
- אם $ a,b\in L $ אזי $ a*b\in L $.
- $ 1_{M}\in L $.
חיתוך של תתי-מונואידים
משפט: יהי $ (F,\cdot ,1_{F},S) $ מונואיד חופשי. תהי $ \left\{L_{\alpha }\right\}_{\alpha \in I} $ קבוצה של תתי-מונואידים של $ (F,\cdot ,1_{F},S) $ כך שלכל $ \alpha \in I $ מתקיים כי $ L_{\alpha } $ מונואיד חופשי. אזי מתקיים $ \bigcap _{\alpha \in I}L_{\alpha } $ מונואיד חופשי.[1]
ראו גם
קישורים חיצוניים
הערות שוליים
- ^ 1.0 1.1 1.2 words, 02
- ↑ Group Theory AMS-ASL Joint Special Session Interactions Between Logic, Alexandre Borovik, American Mathematical Society, Ams-asl Joint Special Session on Interac, Groups, Languages, Algorithms: AMS-ASL Joint Special Session on Interactions Between Logic, Group Theory, and Computer Science, January 16-19, 2003, Baltimore, Maryland, American Mathematical Soc., 2005. (באנגלית)
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] מונואיד חופשי24904128