מבחן לוקאס-להמר
בתורת המספרים, מבחן לוקאס-להמר הוא מבחן ראשוניות – העשוי לספק הוכחה מהירה לכך שמספר נתון n הוא ראשוני. המבחן הוצע על ידי המתמטיקאי הצרפתי אדואר לוקאס בשנת מותו, 1891, ושופר בשנות ה-30 של המאה ה-20 על ידי האמריקאי ד.ה. להמר. מבחן אחר בעל שם דומה הוא מבחן לוקאס-להמר למספרי מרסן, המותאם במיוחד לבדיקת מספרי מרסן.
לפי המשפט הקטן של פרמה, אם n הוא ראשוני שאינו מחלק את a, אז $ \ a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}} $. בניסוח אחר אפשר לומר שהסדר של a בחבורת אוילר של n מחלק את n-1. אם השוויון אינו מתקיים, זוהי ראיה מיידית לכך ש- n אינו ראשוני; אבל שוויון אינו מוכיח ש- n ראשוני - הוא עלול להיות מספר פסאודו-ראשוני.
מבחן לוקאס-להמר מהווה מעין כיוון הפוך למשפט פרמה. אם הסדר של a בחבורת אוילר של n שווה ל- n-1, אז n מוכרח להיות ראשוני. כל מבחני הראשוניות שפותחו מאוחר יותר הם וריאציות על רעיון זה.
חסרונו הגדול של המבחן הוא שנדרשת ידיעת הפירוק לגורמים של n-1. בנוסף, הבדיקה דורשת עֵד, מספר שיקרא כאן a. כל עד עשוי להוכיח ש- n ראשוני, אבל אם עד מסוים נכשל, לא ניתן להסיק מכך ש- n אינו ראשוני. ב-2004 התברר שאין צורך לבדוק עדים הגדולים מ- $ \ (\log(n))^{6} $; אם כל העדים עד מספר זה נכשלו, המספר אינו ראשוני. מתוצאה זו נובע שהוכחת ראשוניות של n היא בעיה בעלת סיבוכיות פולי-לוגריתמית.
תיאור המבחן
משפט. אם לכל גורם ראשוני q של n-1 קיים מספר a המקיים $ \ a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}} $ ו- $ \ a^{(n-1)/q}\not \equiv 1{\pmod {n}} $, אז n הוא ראשוני.
הוכחה. אם נגלה כי n-1 מחלק את $ \ \varphi (n) $ (כאשר $ \ \varphi $ פונקציית אוילר), אז נוכל להסיק $ \ \varphi (n)=n-1 $ (מכיוון שתמיד $ \ \varphi (n)\leq n-1 $), כלומר, אין אף מספר קטן מ- n המחלק אותו, ולכן n ראשוני. נניח, אם כן, ש- q הוא ראשוני שחזקתו $ \ q^{r} $ מחלקת את $ \ n-1 $. לפי ההנחה קיים a שהסדר שלו בחבורת אוילר, $ \ ord(a) $, מחלק את n-1 אבל לא את $ \ (n-1)/q $. אם כך, $ \ q^{r} $ מוכרח לחלק את $ \ ord(a) $ (אחרת $ \ ord(a) $ היה מחלק את $ \ (n-1)/q $), ולכן גם את $ \ \varphi (n) $, המתחלק תמיד ב- $ \ ord(a) $ (לפי משפט לגראנז'). הוכחנו שכל חזקת ראשוני המחלקת את n-1 מחלקת גם את $ \ \varphi (n) $, כפי שרצינו.
בדרך כלל מספיקה גם הגרסה החלשה הבאה של המבחן: אם קיים מספר a המקיים $ \ a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}} $, ו- $ \ a^{(n-1)/q}\not \equiv 1{\pmod {n}} $ לכל גורם ראשוני q של n-1, אז n הוא ראשוני. כאן מחפשים a שיתאים בבת-אחת לכל הגורמים הראשוניים (למרות שעל-פי המשפט הראשון, תנאי זה אינו הכרחי). ההוכחה של הגרסה החלשה מיידית: אם a מספר המקיים את התנאים, אז הסדר שלו בחבורת אוילר שווה ל- n-1, ולכן (לפי משפט לגראנז') סדר החבורה מתחלק ב-n-1, כפי שרצינו להוכיח.
כדי להוכיח ש-n נתון הוא ראשוני, צריך למצוא a שיקיים את הדרישות. אם n אכן ראשוני, אז יש $ \ \varphi (n-1) $ עדים פוטנציאליים אפילו למבחן החלש (כל היוצרים של חבורת אוילר, שהיא ציקלית במקרה זה). מכיוון שהיחס $ \ {\frac {\varphi (n-1)}{n-1}} $ קרוב בדרך-כלל ל-1, קל למצוא את העדים והמבחן נחשב למבחן הסתברותי יעיל.