כמת

בלוגיקה, כמת הוא סמל המציין את התחולה של המשתנה הצמוד לו. שני הכמתים העיקריים הם:

• לכל (נקרא גם כמת כולל), מסומן ב-$\forall$
• קיים (נקרא גם כמת ישי), מסומן ב- $\exists$ .

רקע

הלוגיקה המתמטית מאפשרת לנסח פסוקים מתמטיים באופן חד-משמעי. השפה הבסיסית לצורך זה היא תחשיב הפסוקים, שבו מורכב כל פסוק מנוסחאות יסודיות, עם קשרים לוגיים כמו "או", "לא" או "וגם", המחברים ביניהם. שפה זו מוגבלת מטבעה, משום שהיא מסוגלת לטפל רק בטענות המתייחסות לערכים ידועים או משתנים בעלי תוכן קבוע. אפשר לנסח בתחשיב הפסוקים את הטענה "לכל חתול יש זנב", משום שהיא שקולה לפסוק "אם x הוא חתול אז ל-x יש זנב", שאותה אפשר לקרוא לכל x אפשרי בנפרד; אבל כדי לנסח טענות מורכבות יותר (כמו "לכל $\ \epsilon$ קיים $\ N$ כך שאם $\ n>N$ אז $\ |a_{n}|<\epsilon$") בתחשיב הפסוקים, יש לקודד את רכיבי הטענה באופן מסובך ומסורבל הנוטל ממנה את עוקצה.

בתחשיב הפרדיקטים הפסוקים כוללים בנוסף לקשרים של תחשיב הפסוקים, גם את הכמתים לכל וקיים. אם $\ \varphi (x)$ הוא פסוק לוגי, שערך האמת שלו עשוי להיות תלוי ב-x, משמעות הפסוק $\ \forall x:\varphi (x)$ היא שהפסוק נכון לכל ערך אפשרי של x, ומשמעותו של הפסוק $\ \exists x:\varphi (x)$ היא שקיים ערך של x שעבורו הפסוק נכון. מן המשמעויות האלה גוזרים את ערך האמת של הפסוק החדש בכל מודל של השפה.

גזירה והוכחות פורמליות

בכמתים, כמו בשאר הסמלים והפסוקים של שפה מסדר ראשון, מטפלים בצורה מכנית, תוך התחשבות רק בצורה ולא במשמעות. בבניה פורמלית של פסוק תקני אפשר לצרף כמת רק בשתי הצורות שהוזכרו לעיל, כאשר $\ \varphi$ עצמו הוא פסוק תקני. פסוק זה נקרא "תחום הקשירה" של המשתנה x. לפי האקסיומות הכלליות של שפה מסדר ראשון, מותר להחליף את המשתנה בכל משתנה אחר, ובלבד שההחלפה עקבית בכל תחום הקשירה, ושהמשתנה החדש אינו מופיע שם. דהיינו, אין הבדל בין $\ \forall x:(\exists y:x+y=0)$ לבין $\ \forall z:(\exists y:z+y=0)$.

סימונים נוספים

אפשר, עקרונית, להסתפק רק באחד משני הכמתים, משום ש"לכל x מתקיימת התכונה P" שקול ל"לא קיים x שעבורו לא מתקיימת התכונה P". לכן $\ \forall x:\varphi (x)\iff \neg \exists x\neg \varphi (x)$.

הסימון $\ \exists !$ מציין "קיים ויחיד": $\ \forall x:\exists !y:x+y=0$. גם את הכמת הזה אפשר לבטא באמצעות כמת הקיום, ולכן הוא אינו מוסיף כוח תיאורי לשפה, ומשמש לקיצור בלבד.

היסטוריה

הרמב"ם, בספרו מילות הגיון, מתאר את שני הכמתים:

”ואנחנו נקרא מה שיורה עליו המשפט מעניין הכללות והייחוד - כמות המשפט. ונקרא מה שיורה עליו מעניין החיוב והשלילה - איכות המשפט. דמיון זה, אמרנו: „כל אדם חי”, נאמר זה המשפט: כמותו - כללי (כמת כולל), ואיכותו - החיוב. וכאשר אמרנו: „קצת האדם בלתי כותב”, נאמר זה המשפט: כמותו - חלקי (כמת ישי), ואיכותו - השלילה” (מילות הגיון שער ב)