יחס כפול

בהינתן רביעיית נקודות $(a,b,c,d)$ במישור (הממשי או המרוכב), היחס הכפול ביניהן מוגדר ${\frac {(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}}$ . שמו של היחס הכפול מגיע מכך שהוא מתאר את היחס בין היחס ${\frac {a-c}{a-d}}$ ובין היחס ${\frac {b-c}{b-d}}$ .

היחס הכפול הוא שמורה של העתקת מביוס ושל העתקות פרויקטיביות.

בגלל האופי הסימטרי של ביטוי היחס הכפול, תמורות בין ארבע הנקודות $(a,b,c,d)$ יניבו לכל היותר שישה ערכים שונים של היחסים הכפולים ביניהן. למשל, אם נחליף את $(a,b,c,d)$ ב- $(b,a,d,c)$ נקבל את הביטוי ${\frac {(b-d)(a-c)}{(b-c)(a-d)}}$ , השווה ליחס הכפול המקורי.

ככלל, בהינתן רביעיית נקודות בעלת יחס כפול $\lambda$ , שינוי סדר הקואורדינטות בה יניב את הערכים הבאים:

תמורה	תיאור קצר	ערכו של היחס הכפול
$(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})$	תמורת הזהות	$\lambda$
$(z_{1},z_{2};z_{4},z_{3})$	$z_{3}\leftrightarrow z_{4}$	${\frac {1}{\lambda }}$
$(z_{1},z_{3};z_{2},z_{4})$	$z_{2}\leftrightarrow z_{3}$	$1-\lambda$
$(z_{1},z_{3};z_{4},z_{2})$	$z_{2}\leftarrow z_{4}\leftarrow z_{3}\leftarrow z_{2}$	${\frac {1}{1-\lambda }}$
$(z_{1},z_{4};z_{3},z_{2})$	$z_{2}\leftrightarrow z_{4}$	${\frac {\lambda }{\lambda -1}}$
$(z_{1},z_{4};z_{2},z_{3})$	$z_{2}\leftarrow z_{3}\leftarrow z_{4}\leftarrow z_{2}$	${\frac {\lambda -1}{\lambda }}$

היחס הכפול בגאומטריה פרויקטיבית

ליחס הכפול ישנה הגדרה שונה ושקולה בגאומטריה פרויקטיבית: יהיו

a={\binom {a_{0}}{a_{1}}},b={\binom {b_{0}}{b_{1}}},c={\binom {c_{0}}{c_{1}}},d={\binom {d_{0}}{d_{1}}}

ארבע נקודות על הישר הפרויקטיבי. כן תהי $T$ העתקה פרויקטיבית עבורה $T(a)=\infty ,T(b)=0,T(c)=1$ . היחס הכפול בגאומטריה פרויקטיבית מוגדר להיות $T(d)$ .

הוכחת השקילות

מהיות $a,b,c$ שלוש נקודות בעלות שתי דרגות חופש, ניתן לבטא את $c$ כצירוף לינארי $c=\alpha a+\beta b$ . אולם, מכיוון שנקודות על הישר הפרויקטיבי אינן משתנות תחת כפל בקבוע, נסמן מחדש $a=\alpha a,b=\beta b$ . כלומר מתקיים $T(\alpha a)=(1,0)$ (נקודת האינסוף בקואורדינטות הומוגניות) וכן $T(\beta b)=(0,1)$ (נקודת האפס בקואורדינטות הומוגניות).