יחסי גרין

יחסי גרין הם יחסי שקילות בסיסיים המוגדרים בחבורה למחצה, ומארגנים את המבנה שלה סביב תת-החבורות המקסימליות. את היחסים הגדיר סנדי גרין (אנ') (1926-2014).

הגדרה

תהי $$ T $$ חבורה למחצה, ויהי $$ S $$ המונואיד המתקבל מצירוף איבר יחידה ל- $$ T $$ . יחסי גרין הם ארבעה יחסי שקילות המוגדרים על $$ T $$ :

$$ aFb $$ אם $$ a,b $$ יוצרים את אותו אידיאל דו-צדדי, כלומר $$ SaS=SbS $$ .
$$ aLb $$ אם $$ a,b $$ יוצרים את אותו אידיאל שמאלי, כלומר $$ Sa=Sb $$ .
$$ aRb $$ אם $$ a,b $$ יוצרים את אותו אידיאל ימני, כלומר $$ aS=bS $$ .
$$ aHb $$ אם $$ aLb $$ וגם $$ aRb $$ .

תכונות עיקריות

נאמר "מחלקת- $$ F $$ " במקום "מחלקת שקילות לפי $$ F $$ ", וכדומה. היחס $$ H $$ הוא העדין ביותר: כל מחלקת- $$ F $$ היא איחוד של מחלקות- $$ L $$ ואיחוד של מחלקות- $$ R $$ , וכל אחת מאלו היא איחוד של מחלקות- $$ H $$ . אם $$ S $$ סופית, אז $F=L\circ R=R\circ L$ . תכונות אלו מציעות פירוק של כל מחלקת- $$ F $$ ל"תבנית ביצים", כך ששני איברים נמצאים באותה שורה אם הם שקולים- $$ R $$ , באותה עמודה אם הם שקולים- $$ L $$ , ובאותה תיבה אם הם שקולים- $$ H $$ . בין מחלקות- $$ F $$ מוגדר יחס סדר ( $$ [a]<[b] $$ אם $$ SaS $$ מוכל ב- $$ SbS $$ ).

איבר $$ a $$ הוא רגולרי אם קיים $$ b $$ כך ש- $$ aba=a $$ ו- $$ bab=b $$ ; במקרה זה $$ b $$ הוא הפכי של $$ a $$ . אם מחלקת- $$ F $$ מכילה איבר רגולרי, אז כל האיברים במחלקה הם רגולריים, וכל ההפכיים שלהם שייכים לאותה מחלקה.

תת-החבורות המקסימליות של $$ S $$ הן מחלקות- $$ H $$ הכוללות אידמפוטנט. אם המחלקות של שתי תת-חבורות מקסימליות שקולות- $$ F $$ , אז הן איזומורפיות; מחלקת- $$ F $$ המכילה תת-חבורה מקסימלית היא רגולרית. יש התאמה חד-חד-ערכית ועל בין ההצגות האי-פריקות של $$ T $$ , לבין הזוגות $$ (J,f) $$ כאשר $$ J $$ מחלקת- $$ F $$ רגולרית ו- $$ f $$ הצגה אי-פריקה של חבורה המוכלת בה.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

יחסי גרין28248354Q3077964

יחסי גרין

הגדרה

תכונות עיקריות

תפריט ניווט

חיפוש