חלון קייזר

חלון קייזר (באנגלית: Kaiser Window), ידוע גם כחלון קייזר-בסל, פותח על ידי ג'יימס קייזר במעבדות בל. חלון קייזר הוא משפחה חד-פרמטרית של פונקציות חלון(אנ') המשמשות לעיבוד דיגיטלי של אותות ומוגדר על ידי הנוסחה:
- $ w[n]=\left\{{\begin{matrix}{\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N-1}}-1\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},&0\leq n\leq N-1\\\\0&{\mbox{otherwise}},\\\end{matrix}}\right. $
כאשר:
- N הוא אורך הרצף.
- I0 הוא סדר 0 של פונקציית בסל מהסוג הראשון.
- α מספר ממשי חיובי שרירותי אשר קובע את צורת החלון. במרחב התדירויות, הוא קובע את האיזון בין רוחב האונה הראשית ורמת האונה הצדדית. זו היא החלטה מרכזית בתכנון החלון.
כאשר N הוא מספר אי-זוגי ערך הקצה של החלון הוא $ \scriptstyle w[(N-1)/2]=1, $ וכאשר N זוגי ערכי הקצה הם $ \scriptstyle w[N/2-1]\ =\ w[N/2]\ <\ 1. $
טרנספורם פורייה

מאחורי הרצף הדיסקרטי עומדת הפונקציה הבאה וטרנספורם פורייה שלה:
- $ \underbrace {\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2t}{(N-1)T}}\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}} _{w_{0}(t)}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad \underbrace {\frac {(N-1)T\cdot \sinh \left(\pi {\sqrt {\alpha ^{2}-\left((N-1)T\cdot f\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )\cdot \pi {\sqrt {\alpha ^{2}-\left((N-1)T\cdot f\right)^{2}}}}} _{W_{0}(f)}. $
הערך המקסימלי של (w0(t הוא w0(0) = 1.
רצף ה-w[n] המוגדר למעלה נגזר מתוך:
- $ w_{0}\left(t-{\tfrac {(N-1)T}{2}}\right)\cdot \operatorname {rect} \left({\tfrac {t-(N-1)T/2}{NT}}\right), $ הנמדדים במרווחים של T,
וכאשר ()rect היא פונקציית המלבן האיפוס הראשון אחרי האונה של (W0(f קורה ב:
- $ f={\frac {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}{NT}}, $
אשר ביחידות "DFT bins" הוא פשוט $ \scriptstyle {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}. $[1]
α שולטת באיזון בין רוחב האונה הראשית ושטח האונה הצדדית. ככל ש α עולה, האונה הראשית W0(f) גדלה ברוחב, והאונה הצדדית קטנה במשרעת. α = 0 מגיב לחלון מלבני.
עבור α גבוה, צורת חלון קייזר (הן בזמן והן בתדירות) נוטה לעקומת גאוס. חלון קייזר הוא כמעט אופטימלי במונחים של ריכוז מקסימום סביב התדירות 0 (Oppenheim et al., 1999).
הערות שוליים
- ↑ Kaiser, James F.; Schafer, Ronald W. (1980). "On the use of the I0-sinh window for spectrum analysis". IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 28: 105–107. doi:10.1109/TASSP.1980.1163349.
חלון קייזר24785398