זהות קפלי

בתורת החוגים, זהות קפלי היא הזהות $ c_{n}=0 $, כאשר $ c_{n}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )x_{\sigma (1)}y_{1}x_{\sigma (2)}y_{2}\cdots x_{\sigma (n)}y_{n} $ הוא פולינום קפלי ב-$ 2n $ משתנים. כל אלגברה מממד קטן מ-$ n $ מקיימת את הזהות $ c_{n}=0 $. התפקיד המרכזי של זהויות קפלי בתורת החוגים עם זהויות ("חוגי-PI") נובע מכך שכל אלגברת PI אפינית מקיימת זהות קפלי כלשהי; ובנוכחות זהות קפלי $ c_{n}=0 $, כל זהות שקולה למסקנות שלה בפחות מ-$ n $ משתנים.

הזהות $ c_{n}=0 $ נובעת מן הזהות $ c_{n-1}=0 $, כך שהתנאי $ c_{n}=0 $ הולך ונעשה חלש כאשר $ n $ גדל. באלגברה עם יחידה $ c_{1}\neq 0 $, ו-$ c_{2}=0 $ אם ורק אם האלגברה קומוטטיבית. פולינום $ f $ נקרא $ n $-מתחלף אם לכל $ 1\leq i,j\leq n $ מתקיים $ f(...,x_{i},...,x_{j},...)=-f(...,x_{j},...,x_{i},...) $. פולינום קפלי ה-$ n $-י הוא $ n $-מתחלף; וכזהות, הוא הפולינום ה-$ n $-מתחלף הכללי ביותר: $ c_{n}=0 $ היא זהות של האלגברה $ A $, אם ורק אם כל פולינום $ n $-מתחלף הוא זהות של $ A $. לדוגמה, את הזהות הסטנדרטית $ s_{n}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )x_{\sigma (1)}\cdots x_{\sigma (n)} $ אפשר להסיק מהזהות $ c_{n} $ על ידי ההצבה $ y_{i}\mapsto 1 $ (והיא אכן n-מתחלפת). אלגברת המטריצות $ M_{n}(F) $ (מעל שדה $ F $) מקיימת את זהות קפלי $ c_{n^{2}+1} $, אבל לא את הזהות $ c_{n^{2}} $. האלגברה $ M_{n}(R) $ מקיימת את $ c_{n^{2}+1} $ אם ורק אם $ R $ קומוטטיבי.

אם $ A $ אלגברה מעל שדה $ F $ ממאפיין 0, אפשר ללמוד את תורת ההצגות שלה בעזרת מרחב הקו-קרקטרים $ \ \chi _{n}(A)=V_{n}/(V_{n}\cap \operatorname {id} (A)) $ (כאשר $ \ V_{n} $ הוא מרחב הפולינומים המולטילינאריים במשתנים $ \ x_{1},\dots ,x_{n} $), שהם מודולים מעל החבורות הסימטריות $ \ S_{n} $ על ידי פעולת ההצבה. תורת ההצגות של החבורה הסימטרית ממיינת את ההצגות האי-פריקות האלה, ומאפשרת להוכיח את המשפט הבא: אלגברה $ A $ מקיימת את זהות קפלי $ c_{m} $ אם ורק אם דיאגרמת יאנג של כל תת-הצגה אי-פריקה של $ \ \chi _{n}(A) $ היא בעלת פחות מ-m שורות.

קמר הוכיח שבמאפיין חיובי, כל אלגברת-PI מקיימת זהות קפלי. הוא הראה גם שבמאפיין 0, כל אלגברת-PI אפינית מקיימת זהות כזו. אלגברת גרסמן היא דוגמה לאלגברה לא אפינית, במאפיין 0, שאינה מקיימת אף זהות קפלי. במאפיין 0, לכל $ n $ קיימת זהות קפלי $ c_{m} $ הנובעת מן הזהות הסטנדרטית $ s_{n} $.

אלגברה אפינית מעל שדה מקיימת זהות קפלי (כלשהי) אם ורק אם הרדיקל שלה הוא נילפוטנטי. עובדה זו מוליכה לאחד המשפטים החשובים בתורת הזהויות, משפט רזמיסלוב-קמר-בראון, שלפיו הרדיקל של כל אלגברת-PI אפינית הוא נילפוטנטי.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

זהות קפלי28293657