זהות קאסיני
במתמטיקה, זהות קאסיני היא הזהות:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{n+1}\cdot F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n}
כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_k} הוא האיבר ה-k בסדרת פיבונאצ'י.
לדוגמה 5, 8, 13 הם איברים סמוכים בסדרת פיבונאצ'י, ואכן:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 13\cdot 5-8^2 = 65-64 = 1}
הזהות נקראת על שם ג'ובאני דומניקו קאסיני שגילה אותה ב-1680.
הוכחה
ההוכחה הקצרה ביותר לנוסחה נעזרת בחוקי דטרמיננטות:
קל להוכיח באינדוקציה שמתקיים:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[\begin{matrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right]^n}
ולכן:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2 =\det\left[\begin{matrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{matrix}\right] =\det\left[\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right]^n =\left(\det\left[\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right]\right)^n =(-1)^n}
הכללות
אז'ן שרל קטלן הוכיח ב-1879 את זהות קטלן:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_n^2 - F_{n+r}F_{n-r} = (-1)^{n-r}F_r^2}
זהות קאסיני מתקבלת ממנה על ידי ההצבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r=1} .
סטפן ויידה (Steven Vajda) הוכיח שמתקיים:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{n+i}F_{n+j} - F_{n}F_{n+i+j} = (-1)^nF_{i}F_{j}}
כאשר מוסכם שלכל n טבעי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{-n} = (-1)^{n+1}F_n} (הגדרה זו משמרת את נוסחת הנסיגה של מספרי פיבונאצ'י).
זהות קטלן מתקבלת מזהות זו על ידי ההצבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i=r, j=-r} .
קישורים חיצוניים
- הוכחה של זהות קאסיני באתר proofwiki
- הוכחה של זהות קטלן באתר proofwiki
- הוכחה של זהות ויידה באתר proofwiki
זהות קאסיני28439425Q25492745