במתמטיקה, זהות קאסיני היא הזהות:

כאשר
הוא האיבר ה-k בסדרת פיבונאצ'י.
לדוגמה 5, 8, 13 הם איברים סמוכים בסדרת פיבונאצ'י, ואכן:

הזהות נקראת על שם ג'ובאני דומניקו קאסיני שגילה אותה ב-1680.
הוכחה
ההוכחה הקצרה ביותר לנוסחה נעזרת בחוקי דטרמיננטות:
קל להוכיח באינדוקציה שמתקיים:
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ec130173f64ec9cf19ca509fe696aae7a26749)
ולכן:
![{\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\det \left[{\begin{matrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{matrix}}\right]=\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]^{n}=\left(\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]\right)^{n}=(-1)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c23d06e44b7d23bd3de2e2e5f927d2b282d06b7)
הכללות
אז'ן שרל קטלן הוכיח ב-1879 את זהות קטלן:

זהות קאסיני מתקבלת ממנה על ידי ההצבה
.
סטפן ויידה (Steven Vajda) הוכיח שמתקיים:

כאשר מוסכם שלכל n טבעי:
(הגדרה זו משמרת את נוסחת הנסיגה של מספרי פיבונאצ'י).
זהות קטלן מתקבלת מזהות זו על ידי ההצבה
.
קישורים חיצוניים
זהות קאסיני28439425Q25492745