ורונסקיאן

בתורת המשוואות הדיפרנציאליות הרגילות, הוורונסקיאן (על-שם של המתמטיקאי והפילוסוף הפולני יוזף מאריה חנה-ורונסקי) היא פונקציה המסייעת לפתרון מערכות של משוואות ומשוואות מסדר גבוה.

הגדרה פורמלית

בהינתן קבוצת $n$ פונקציות $f_{1},\ldots ,f_{n}$ , הוורונסקיאן שלהן מוגדר בתור הדטרמיננטה הבאה:

W(f_{1},\ldots ,f_{n})={\begin{vmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots &f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots &f_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots &f_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}

כלומר, זוהי הדטרמיננטה המתקבלת מכך שמציבים את הפונקציות בשורה הראשונה, את הנגזרת הראשונה שלהן בשורה השנייה וכן הלאה, עד הנגזרת ה- $n-1$ . נשים לב שהוורונסיקאן הוא פונקציה: עבור כל $x$ הוא מחזיר את הדטרמיננטה כאשר הפונקציות ונגזרותיהן מחושבות בנקודה $x$ .

הוורונסיקאן משמש לבדיקת תלות לינארית של פונקציות: אם הוורונסיקאן של קבוצת פונקציות שונה מאפס בקטע כלשהו, אז הפונקציות בלתי תלויות בקטע זה. ההפך אינו בהכרח נכון – ייתכן שהוורונסקיאן יתאפס מבלי שהפונקציות יהיו תלויות לינארית. עם זאת, כאשר כל הפונקציות הן פתרון של משוואה דיפרנציאלית לינארית כלשהי, התאפסות הוורונסיקאן גוררת את תלות הפונקציות. לכן ניתן להשתמש בוורונסיקאן כדי לבדוק תלות בין פתרונות של אותה משוואה דיפרנציאלית.

עבור מערכת של משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר ראשון נהוג להגדיר את הוורונסיקאן בצורה מעט שונה. כל פתרון של המערכת הוא פונקציה וקטורית, ולכן כל עמודה של הוורונסיקאן מכילה את הרכיבים של פונקציה אחת, במקום את הנגזרות שלה. הגדרה זו שקולה להגדרה המקורית במובן זה שאם מתרגמים משוואה לינארית ממעלה $n$ למערכת של $n$ משוואות לינאריות ממעלה ראשונה, הוורונסיקאן של הפתרונות יהיה זהה.

עבור ורונסקיאן של מערכת משוואות ${\vec {Y}}'=A{\vec {Y}}$ כאשר $A=(a_{ij})$ היא מטריצה מסדר $n\times n$ מתקיימת זהות אבל: אם $W(x)$ הוא הוורונסיקאן של קבוצת פתרונות של המערכת בנקודה $x$ אז מתקיים